Математический анализ Примеры

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

Этап 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 5$ , $b = - 1$ и $c = 4 x - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.4

Умножим $4$ на $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.5

Умножим $- 20$ на $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.1.6

Добавим $1$ и $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.4

Умножим $4$ на $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.5

Умножим $- 20$ на $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.1.6

Добавим $1$ и $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 1.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.6.1.4

Умножим $4$ на $- 20$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.6.1.5

Умножим $- 20$ на $- 3$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.6.1.6

Добавим $1$ и $60$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 1.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

Этап 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

Этап 3.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $4 x + 5 y^{2} - y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.3.4

Умножим $2$ на $5$ .

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.4.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$4 + 10 y y' - y'$

Этап 3.2.5

Изменим порядок членов.

$10 y y' + 4 - y'$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 3.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

Этап 3.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$10 y y' - y' = - 4$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $y'$ из $10 y y' - y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $10 y y'$ .

$y' (10 y) - y' = - 4$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $- y'$ .

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (10 y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (10 y - 1) = - 4$

Этап 3.5.3

Разделим каждый член $y' (10 y - 1) = - 4$ на $10 y - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим каждый член $y' (10 y - 1) = - 4$ на $10 y - 1$ .

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Этап 3.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Сократим общий множитель $10 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Этап 3.5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

Этап 3.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

Этап 3.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 4.2

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5

Отсутствие решений в случае, когда производная равна $0$ , $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ означает, что горизонтальные касательные отсутствуют.

Горизонтальные касательные не найдены

Этап 6