Математический анализ Примеры

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

Этап 1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (π x + y)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = π x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $π x + y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $π x + y$ .

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

По правилу суммы производная $π x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.3.3.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.3.3.4

Умножим $π$ на $1$ .

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Упростим $3 \cos (π x + y) (π + y')$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

Этап 1.5.1.1.2

Изменим порядок множителей в $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ .

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

Этап 1.5.2

Вычтем $3 y' \cos (π x + y)$ из обеих частей уравнения.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' - 3 y' \cos (π x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $- 3 y' \cos (π x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ .

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ на $1 - 3 \cos (π x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ на $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $1 - 3 \cos (π x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Этап 1.7.3

Избавимся от скобок.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

Этап 1.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Этап 1.7.4.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Этап 1.7.4.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Этап 1.7.4.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Этап 1.7.4.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Этап 1.7.4.6

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

Этап 1.7.5.2

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

Этап 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

Этап 1.7.5.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

Этап 1.7.5.5

Умножим $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

Этап 1.7.5.5.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

Этап 1.7.5.6

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{- 3 π}{4}$

Этап 1.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 π}{4}$

Этап 2

Нормаль перпендикулярна касательной. Возьмем отрицательную обратную величину к угловому коэффициенту касательной, чтобы найти угловой коэффициент нормали.

$\frac{4}{3 π}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{4}{3 π}$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим $\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Этап 3.3.2.2

Объединим $\frac{4}{3 π}$ и $x$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

Этап 3.3.2.3

Умножим $\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Объединим $\frac{4}{3 π}$ и $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

Этап 4