Математический анализ Примеры

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{7 π}{2}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 x y + π \sin (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x y$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Этап 1.2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π \sin (y)$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

Этап 1.2.4.2

Изменим порядок членов.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

Этап 1.3

Поскольку $83 π$ является константой относительно $x$ , производная $83 π$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Изменим порядок множителей в $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ .

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

Этап 1.5.2

Вычтем $6 y$ из обеих частей уравнения.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $y'$ из $6 x y' + π y' \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $6 x y'$ .

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

Этап 1.5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $π y' \cos (y)$ .

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

Этап 1.5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ .

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

Этап 1.5.4

Разделим каждый член $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ на $6 x + π \cos (y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Разделим каждый член $y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ на $6 x + π \cos (y)$ .

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Этап 1.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Сократим общий множитель $6 x + π \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Этап 1.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 4$ в $y = \frac{7 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Этап 1.7.3

Объединим $6$ и $\frac{7 π}{2}$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Этап 1.7.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $6$ на $4$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

Этап 1.7.4.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

Этап 1.7.4.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

Этап 1.7.4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

Этап 1.7.4.5

Умножим $π$ на $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

Этап 1.7.4.6

Добавим $24$ и $0$ .

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

Этап 1.7.5

Умножим $6$ на $7$ .

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

Этап 1.7.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Сократим выражение $\frac{42 π}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $42 π$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

Этап 1.7.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

Этап 1.7.6.1.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

Этап 1.7.6.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

Этап 1.7.6.2

Разделим $21 π$ на $1$ .

$- \frac{21 π}{24}$

Этап 1.7.7

Сократим общий множитель $21$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Вынесем множитель $3$ из $21 π$ .

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

Этап 1.7.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $24$ .

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

Этап 1.7.7.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

Этап 1.7.7.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7 π}{8}$

Этап 2

Нормаль перпендикулярна касательной. Возьмем отрицательную обратную величину к угловому коэффициенту касательной, чтобы найти угловой коэффициент нормали.

$\frac{8}{7 π}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{8}{7 π}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{7 π}{2})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{8}{7 π}$ и $x$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Умножим $\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Объединим $\frac{8}{7 π}$ и $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

Этап 3.3.1.5.2

Умножим $8$ на $- 4$ .

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

Этап 3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

Этап 3.3.2

Добавим $\frac{7 π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $- \frac{32}{7 π}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

Этап 3.3.3.2

Чтобы записать $\frac{7 π}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Этап 3.3.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $14 π$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Умножим $\frac{32}{7 π}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Этап 3.3.3.3.2

Умножим $2$ на $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

Этап 3.3.3.3.3

Умножим $\frac{7 π}{2}$ на $\frac{7 π}{7 π}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

Этап 3.3.3.3.4

Умножим $7$ на $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

Этап 3.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

Этап 3.3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.1

Умножим $- 32$ на $2$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.2

Умножим $7$ на $7$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.3

Умножим $49 π π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.3.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.3.2

Возведем $π$ в степень $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.4

Перепишем $- 64 + 49 π^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.5.4.1

Перепишем $49 π^{2}$ в виде ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.4.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.4.3

Изменим порядок $- 8^{2}$ и ${(7 π)}^{2}$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

Этап 3.3.3.5.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 7 π$ и $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Этап 3.3.3.6

Изменим порядок членов.

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

Этап 4