Математический анализ Примеры

$y = \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 2.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 2.1.1.2.1.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 2.1.1.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{5 + \infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 2.1.1.2.3

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 2.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Этап 2.1.1.3.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Этап 2.1.1.3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{1 - \infty}$

Этап 2.1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.3.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\frac{\infty}{1 + - \infty}$

Этап 2.1.1.3.3.2

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.1.3.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Этап 2.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5 + 2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.2

По правилу суммы производная $5 + 2^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.5

Добавим $0$ и $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1 - 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.6

По правилу суммы производная $1 - 2^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

Этап 2.1.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 2^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - \frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Этап 2.1.3.8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{0 - 2^{x} \ln (2)}$

Этап 2.1.3.9

Вычтем $2^{x} \ln (2)$ из $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Этап 2.1.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель $2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{- 2^{x} \ln (2)}$

Этап 2.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{- \ln (2)}$

Этап 2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 1}$

Этап 2.1.4.2.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} - 1 \cdot 1$

Этап 2.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем предел $- 1 \cdot 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to - \infty} \frac{5 + 2^{x}}{1 - 2^{x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} 2^{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 3.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - 2^{x}}$

Этап 3.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{5 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Этап 3.3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{5 + 0}{1 - lim_{x \to - \infty} 2^{x}}$

Этап 3.4

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $- \infty$ , величина $2^{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{5 + 0}{1 - 0}$

Этап 3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{5}{1 - 0}$

Этап 3.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{5}{1 + 0}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{5}{1}$

Этап 3.5.3

Разделим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = - 1, 5$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 0$

Горизонтальные асимптоты: $y = - 1, 5$

Нет наклонных асимптот

Этап 7