Математический анализ Примеры

$y = 5 \csc (\frac{3}{2} x + \frac{π}{2}) - 2$

Этап 1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x$ .

$y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$

Этап 2

Вертикальные асимптоты функции $y = \csc (x)$ находятся в точках $x = n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(0, 2 π)$ для $y = c s c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ . Положив аргумент косеканса, $b x + c$ , равным $0$ в выражении $y = a \csc (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2} = 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 x}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 3.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$3 x = - π$

Этап 3.3

Разделим каждый член $3 x = - π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $3 x = - π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- π}{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- π}{3}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 4

Выражение внутри косеканса $\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}$ приравняем $2 π$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2} = 2 π$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.3

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.1.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$3 x = 3 π$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 x = 3 π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 x = 3 π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3 π}{3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3 π}{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3 π}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{3}$

Этап 5.3.3.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$x = π$

Этап 6

Основной период $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ находится на промежутке $(- \frac{π}{3}, π)$ , где $- \frac{π}{3}$ и $π$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{π}{3}, π)$

Этап 7

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

$\frac{3}{2}$ приблизительно равно $1.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{2}{3}$

Этап 7.3

Умножим $2 π \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{4}{3}$ и $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 8

Вертикальные асимптоты $y = 5 \csc (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{2}) - 2$ находятся в $- \frac{π}{3}$ , $π$ и в каждой точке $x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$

Этап 9

У косеканса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 10