Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{d}{d x} \ln (x)}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - x \frac{1}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $x$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - \frac{x}{x}}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1 \cdot 1}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{\ln (x) - 1}{\ln^{2} (x)}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln^{2} (x))}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(\ln^{2} (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{{(\ln (x))}^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) \frac{d}{d x} (\ln (x) - 1) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.2.2

По правилу суммы производная $\ln (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x} + 0) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) (\frac{1}{x}) - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим $\ln^{2} (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.5

Умножим $\frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]}{\ln^{4} (x)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x)}{\ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Объединим.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x} - (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.6.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{x (\frac{\ln^{2} (x)}{x}) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.6.3.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) \frac{d}{d x} \ln^{2} (x))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 u \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- (\ln (x) - 1) (2 \ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) \frac{d}{d x} (\ln (x))))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.9

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) (\ln (x) (\frac{1}{x})))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- 2 (\ln (x) - 1) \frac{\ln (x)}{x})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.2

Объединим $\frac{\ln (x)}{x}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{\ln (x) \cdot - 2}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $\ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) + x (- \frac{(2) \ln (x)}{x} \cdot (\ln (x) - 1))}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.4

Объединим $x$ и $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.5.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \frac{x (2 \ln (x))}{x} \cdot (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.5.2

Разделим $2 \ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.10.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) (\ln (x) - 1)}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - 2 \ln (x) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.1

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - 2 \ln (x) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.11.2.2

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) - \ln (x^{2}) \cdot - 1}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.11.2.3

Умножим $- \ln (x^{2}) \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + 1 \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.11.2.3.2

Умножим $\ln (x^{2})$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x^{2}) \ln (x) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.2.11.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{\ln^{2} (x) - \ln (x) \ln (x^{2}) + \ln (x^{2})}{x \ln^{4} (x)} = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 7.38905639$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $7.38905639$ в $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.38905639$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\ln (7.38905639)}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Заменим $e$ приближением.

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{\log_{2.71828182} (7.38905639)}$

Этап 3.1.2.2

Логарифм $7.38905639$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = \frac{7.38905639}{2.00000004}$

Этап 3.1.2.3

Разделим $7.38905639$ на $2.00000004$ .

$f (7.38905639) = 3.69452812$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $3.69452812$ .

$3.69452812$

Этап 3.2

Подставляя $7.38905639$ в $f (x) = \frac{x}{\ln (x)}$ , найдем точку $(7.38905639, 3.69452812)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(7.38905639, 3.69452812)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 7.38905639) \cup (7.38905639, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 7.38905639)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.28905639$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln ({(7.28905639)}^{2}) + \ln ({(7.28905639)}^{2})}{(7.28905639) \ln^{4} (7.28905639)}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $7.28905639$ в степень $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln ({7.28905639}^{2})}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $7.28905639$ в степень $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{7.28905639 \ln^{4} (7.28905639)}$

Этап 5.2.2

Умножим $7.28905639$ на $\ln^{4} (7.28905639)$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{\ln^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.3

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.28905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.28905639) - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.4

Логарифм $7.28905639$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{{1.98637409}^{2} - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.5

Возведем $1.98637409$ в степень $2$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \ln (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.6

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - \log_{2.71828182} (7.28905639) \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.7

Логарифм $7.28905639$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1 \cdot (1.98637409 \ln (53.13034315)) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $1.98637409$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \ln (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.9

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \log_{2.71828182} (53.13034315) + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.10

Логарифм $53.13034315$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 1.98637409 \cdot 3.97274819 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.11

Умножим $- 1.98637409$ на $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{3.94568206 - 7.89136412 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.12

Вычтем $7.89136412$ из $3.94568206$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \ln (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.13

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + \log_{2.71828182} (53.13034315)}{113.47899623}$

Этап 5.2.14

Логарифм $53.13034315$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{- 3.94568206 + 3.97274819}{113.47899623}$

Этап 5.2.15

Добавим $- 3.94568206$ и $3.97274819$ .

$f'' (7.28905639) = \frac{0.02706613}{113.47899623}$

Этап 5.2.16

Разделим $0.02706613$ на $113.47899623$ .

$f'' (7.28905639) = 0.00023851$

Этап 5.2.17

Окончательный ответ: $0.00023851$ .

$0.00023851$

Этап 5.3

При $7.28905639$ вторая производная имеет вид $0.00023851$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 7.38905639)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 7.38905639)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(7.38905639, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.48905639$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln ({(7.48905639)}^{2}) + \ln ({(7.48905639)}^{2})}{(7.48905639) \ln^{4} (7.48905639)}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $7.48905639$ в степень $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln ({7.48905639}^{2})}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $7.48905639$ в степень $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{7.48905639 \ln^{4} (7.48905639)}$

Этап 6.2.2

Умножим $7.48905639$ на $\ln^{4} (7.48905639)$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{\ln^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.3

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.48905639) = \frac{{\log_{2.71828182}}^{2} (7.48905639) - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.4

Логарифм $7.48905639$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{{2.0134428}^{2} - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.5

Возведем $2.0134428$ в степень $2$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \ln (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.6

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - \log_{2.71828182} (7.48905639) \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.7

Логарифм $7.48905639$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 1 \cdot (2.0134428 \ln (56.0859657)) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.8

Умножим $- 1$ на $2.0134428$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \ln (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.9

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \log_{2.71828182} (56.0859657) + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.10

Логарифм $56.0859657$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 2.0134428 \cdot 4.02688561 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.11

Умножим $- 2.0134428$ на $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{4.05395194 - 8.10790388 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.12

Вычтем $8.10790388$ из $4.05395194$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \ln (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.13

Заменим $e$ приближением.

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + \log_{2.71828182} (56.0859657)}{123.07909456}$

Этап 6.2.14

Логарифм $56.0859657$ по основанию $2.71828182$ равен приблизительно $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 4.05395194 + 4.02688561}{123.07909456}$

Этап 6.2.15

Добавим $- 4.05395194$ и $4.02688561$ .

$f'' (7.48905639) = \frac{- 0.02706632}{123.07909456}$

Этап 6.2.16

Разделим $- 0.02706632$ на $123.07909456$ .

$f'' (7.48905639) = - 0.00021991$

Этап 6.2.17

Окончательный ответ: $- 0.00021991$ .

$- 0.00021991$

Этап 6.3

При $7.48905639$ вторая производная имеет вид $- 0.00021991$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(7.38905639, \infty)$ .

Убывание на $(7.38905639, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(7.38905639, 3.69452812)$ .

$(7.38905639, 3.69452812)$

Этап 8