Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Этап 1.1.3.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ и $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5.5

Умножим $4$ на $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.5.7

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Этап 1.1.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 1.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 1.1.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 1.1.7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 1.1.7.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.1.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.1.7.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Этап 1.1.7.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Этап 1.1.7.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1.1.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1.1.8.3

Умножим $3$ на $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1.1.8.4

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.4.1

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1.1.8.4.2

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.4.3

Вынесем множитель ${(x + 1)}^{2}$ из ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ .

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.5

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.6

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.7.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.8.1

Развернем $(x + 1) (2 x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.8.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.8.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2.1.4

Умножим $2 x$ на $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2.1.5

Умножим $4$ на $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.8.2.2

Добавим $4 x$ и $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.9

Добавим $2 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Этап 1.1.8.10

Добавим $6 x$ и $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Этап 1.1.8.11

Добавим $4$ и $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Этап 1.1.8.12

Развернем $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.4.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.5

Перенесем $16$ влево от $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.8

Умножим $2$ на $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.13.10.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.11

Умножим $2$ на $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.12

Умножим $16$ на $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.13

Умножим $5 x^{2}$ на $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.14

Умножим $18 x$ на $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Этап 1.1.8.13.15

Умножим $16$ на $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Этап 1.1.8.14

Добавим $18 x^{3}$ и $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Этап 1.1.8.15

Добавим $16 x^{2}$ и $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Этап 1.1.8.16

Добавим $52 x^{2}$ и $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Этап 1.1.8.17

Добавим $32 x$ и $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x^{3}$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $57$ является константой относительно $x$ , производная $57 x^{2}$ по $x$ равна $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.4.3

Умножим $2$ на $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $50 x$ по $x$ равна $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5.3

Умножим $50$ на $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Этап 1.2.6.2

Добавим $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ и $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $20 x^{3}$ .

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $84 x^{2}$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $114 x$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ .

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Этап 2.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Этап 2.2.2.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.5

Умножим $42$ на $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.6

Добавим $- 10$ и $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.7

Умножим $57$ на $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.8

Вычтем $57$ из $32$ .

$- 25 + 25$

Этап 2.2.2.1.3.9

Добавим $- 25$ и $25$ .

$0$

Этап 2.2.2.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Этап 2.2.2.1.5

Разделим $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Этап 2.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Этап 2.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{3} + 10 x^{2}$ .

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Этап 2.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Этап 2.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Этап 2.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 x^{2} + 32 x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Этап 2.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Этап 2.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Этап 2.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $25 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Этап 2.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Этап 2.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $25 x + 25$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Этап 2.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Этап 2.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Этап 2.2.2.1.6

Запишем $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ в виде набора множителей.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Приравняем $10 x^{2} + 32 x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $10 x^{2} + 32 x + 25$ к $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 10$ , $b = 32$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 40$ на $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $1000$ из $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 40$ на $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $1000$ из $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.4.5

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Этап 2.5.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Этап 2.5.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 40$ на $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $1000$ из $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $24$ в виде $2^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.5.5

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{6}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Этап 2.5.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ .

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Этап 2.5.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ верно.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 1$ в $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {((- 1) + 1)}^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- 1) = 0^{3} {((- 1) + 2)}^{2}$

Этап 3.1.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (- 1) = 0 {((- 1) + 2)}^{2}$

Этап 3.1.2.3

Добавим $- 1$ и $2$ .

$f (- 1) = 0 \cdot 1^{2}$

Этап 3.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (- 1) = 0 \cdot 1$

Этап 3.1.2.5

Умножим $0$ на $1$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $- 1$ в $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , найдем точку $(- 1, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- 1.35505102$ в $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.35505102$ .

$f (- 1.35505102) = {((- 1.35505102) + 1)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $- 1.35505102$ и $1$ .

$f (- 1.35505102) = {(- 0.35505102)}^{3} {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.2

Возведем $- 0.35505102$ в степень $3$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 {((- 1.35505102) + 2)}^{2}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 1.35505102$ и $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot {0.64494897}^{2}$

Этап 3.3.2.4

Возведем $0.64494897$ в степень $2$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.04475816 \cdot 0.41595917$

Этап 3.3.2.5

Умножим $- 0.04475816$ на $0.41595917$ .

$f (- 1.35505102) = - 0.01861757$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $- 0.01861757$ .

$- 0.01861757$

Этап 3.4

Подставляя $- 1.35505102$ в $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , найдем точку $(- 1.35505102, - 0.01861757)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1.35505102, - 0.01861757)$

Этап 3.5

Подставим $- 1.84494897$ в $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.84494897$ .

$f (- 1.84494897) = {((- 1.84494897) + 1)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $- 1.84494897$ и $1$ .

$f (- 1.84494897) = {(- 0.84494897)}^{3} {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Этап 3.5.2.2

Возведем $- 0.84494897$ в степень $3$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 {((- 1.84494897) + 2)}^{2}$

Этап 3.5.2.3

Добавим $- 1.84494897$ и $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot {0.15505102}^{2}$

Этап 3.5.2.4

Возведем $0.15505102$ в степень $2$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.60324183 \cdot 0.02404082$

Этап 3.5.2.5

Умножим $- 0.60324183$ на $0.02404082$ .

$f (- 1.84494897) = - 0.01450242$

Этап 3.5.2.6

Окончательный ответ: $- 0.01450242$ .

$- 0.01450242$

Этап 3.6

Подставляя $- 1.84494897$ в $f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$ , найдем точку $(- 1.84494897, - 0.01450242)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1.84494897, - 0.01450242)$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 1, 0), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1.84494897, - 0.01450242)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1.84494897) \cup (- 1.84494897, - 1.35505102) \cup (- 1.35505102, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1.84494897)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 {(- 1.94494897)}^{3} + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.94494897$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.94494897) = 20 \cdot - 7.35740454 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Этап 5.2.1.2

Умножим $20$ на $- 7.35740454$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 {(- 1.94494897)}^{2} + 114 (- 1.94494897) + 50$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 1.94494897$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 84 \cdot 3.78282651 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Этап 5.2.1.4

Умножим $84$ на $3.78282651$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 + 114 (- 1.94494897) + 50$

Этап 5.2.1.5

Умножим $114$ на $- 1.94494897$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 147.1480909 + 317.75742705 - 221.72418306 + 50$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 147.1480909$ и $317.75742705$ .

$f'' (- 1.94494897) = 170.60933614 - 221.72418306 + 50$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $221.72418306$ из $170.60933614$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 51.11484692 + 50$

Этап 5.2.2.3

Добавим $- 51.11484692$ и $50$ .

$f'' (- 1.94494897) = - 1.11484692$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 1.11484692$ .

$- 1.11484692$

Этап 5.3

При $- 1.94494897$ вторая производная имеет вид $- 1.11484692$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1.84494897)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1.84494897)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.6$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Этап 6.2.1.2

Умножим $20$ на $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 1.6$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Этап 6.2.1.4

Умножим $84$ на $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Этап 6.2.1.5

Умножим $114$ на $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 81.92$ и $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $182.4$ из $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Этап 6.2.2.3

Добавим $- 49.28$ и $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.72$ .

$0.72$

Этап 6.3

При $- 1.6$ вторая производная имеет вид $0.72$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ .

Возрастание в области $(- 1.84494897, - 1.35505102)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 1.35505102, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 {(- 1.17752551)}^{3} + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 1.17752551$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.17752551) = 20 \cdot - 1.63271723 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Этап 7.2.1.2

Умножим $20$ на $- 1.63271723$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 {(- 1.17752551)}^{2} + 114 (- 1.17752551) + 50$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 1.17752551$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 84 \cdot 1.38656633 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Этап 7.2.1.4

Умножим $84$ на $1.38656633$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 + 114 (- 1.17752551) + 50$

Этап 7.2.1.5

Умножим $114$ на $- 1.17752551$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 32.65434465 + 116.471572 - 134.23790846 + 50$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 32.65434465$ и $116.471572$ .

$f'' (- 1.17752551) = 83.81722735 - 134.23790846 + 50$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $134.23790846$ из $83.81722735$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 50.42068111 + 50$

Этап 7.2.2.3

Добавим $- 50.42068111$ и $50$ .

$f'' (- 1.17752551) = - 0.42068111$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 0.42068111$ .

$- 0.42068111$

Этап 7.3

При $- 1.17752551$ вторая производная имеет вид $- 0.42068111$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1.35505102, - 1)$ .

Убывание на $(- 1.35505102, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 20 {(- 0.9)}^{3} + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $- 0.9$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.9) = 20 \cdot - 0.729 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Этап 8.2.1.2

Умножим $20$ на $- 0.729$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 {(- 0.9)}^{2} + 114 (- 0.9) + 50$

Этап 8.2.1.3

Возведем $- 0.9$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 84 \cdot 0.81 + 114 (- 0.9) + 50$

Этап 8.2.1.4

Умножим $84$ на $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 + 114 (- 0.9) + 50$

Этап 8.2.1.5

Умножим $114$ на $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = - 14.58 + 68.04 - 102.6 + 50$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $- 14.58$ и $68.04$ .

$f'' (- 0.9) = 53.46 - 102.6 + 50$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $102.6$ из $53.46$ .

$f'' (- 0.9) = - 49.14 + 50$

Этап 8.2.2.3

Добавим $- 49.14$ и $50$ .

$f'' (- 0.9) = 0.86$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $0.86$ .

$0.86$

Этап 8.3

При $- 0.9$ вторая производная имеет вид $0.86$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 1, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$ .

$(- 1.84494897, - 0.01450242), (- 1.35505102, - 0.01861757), (- 1, 0)$

Этап 10