Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} e^{- x}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} \cdot e^{- x}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$\frac{1}{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.1.3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \cdot - 1$

Этап 1.1.3.4.2

Объединим $\frac{e^{- x}}{3}$ и $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{3}$

Этап 1.1.3.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.3.1

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{3}$

Этап 1.1.3.4.3.2

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{3}$

Этап 1.1.3.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{e^{- x}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.2.2

$- \frac{1}{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- \frac{1}{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Объединим $e^{- x}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{e^{- x}}{3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $\frac{e^{- x}}{3}$ на $1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{3} \cdot 1$

Этап 1.2.3.5

Умножим $\frac{e^{- x}}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x}}{3}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{e^{- x}}{3}$ .

$\frac{e^{- x}}{3}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{e^{- x}}{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{e^{- x}}{3} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$e^{- x} = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.3.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.3.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба