Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(4 - 2 x)}^{2}$ в виде $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

Этап 1.1.2

Развернем $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Этап 1.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Этап 1.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $16 - 16 x + 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.4

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.6

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.9

Умножим $2$ на $4$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.5.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

Этап 1.1.5.11

Перенесем $2$ влево от $16 - 16 x + 4 x^{2}$ .

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.1

Перенесем $- 16$ влево от $x^{2}$ .

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.2.1

Перенесем $x$ .

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.3

Перенесем $8$ влево от $x^{3}$ .

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.4

Умножим $2$ на $16$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.5

Умножим $- 16$ на $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

Этап 1.1.6.4.10

Умножим $4$ на $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

Этап 1.1.6.4.11

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

Этап 1.1.6.4.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

Этап 1.1.6.4.13

Добавим $1$ и $2$ .

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

Этап 1.1.6.4.14

Вычтем $32 x^{2}$ из $- 16 x^{2}$ .

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

Этап 1.1.6.4.15

Добавим $8 x^{3}$ и $8 x^{3}$ .

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

Этап 1.1.6.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{3}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $3$ на $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x^{2}$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 48$ .

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [32 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $32 x$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $32$ на $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $16$ из $48 x^{2} - 96 x + 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $16$ из $48 x^{2}$ .

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $16$ из $- 96 x$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ .

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ на $16$ .

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 6 x + 2$ на $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Этап 2.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 6$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.2.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.2.2

Умножим $- 12$ на $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.3

Вычтем $24$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.8.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.8.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1.57735026$ в $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Возведем $1.57735026$ в степень $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

Этап 3.1.2.2

Умножим $- 2$ на $1.57735026$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

Этап 3.1.2.3

Вычтем $3.15470053$ из $4$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

Этап 3.1.2.4

Возведем $0.84529946$ в степень $2$ .

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

Этап 3.1.2.5

Умножим $2.48803387$ на $0.71453117$ .

$f (1.57735026) = 1.77777777$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $1.77777777$ .

$1.77777777$

Этап 3.2

Подставляя $1.57735026$ в $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ , найдем точку $(1.57735026, 1.77777777)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(1.57735026, 1.77777777)$

Этап 3.3

Подставим $0.42264973$ в $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $0.42264973$ в степень $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $0.42264973$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $0.84529946$ из $4$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

Этап 3.3.2.4

Возведем $3.15470053$ в степень $2$ .

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

Этап 3.3.2.5

Умножим $0.17863279$ на $9.95213548$ .

$f (0.42264973) = 1.77777777$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $1.77777777$ .

$1.77777777$

Этап 3.4

Подставляя $0.42264973$ в $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ , найдем точку $(0.42264973, 1.77777777)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.42264973, 1.77777777)$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0.42264973)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $0.32264973$ в степень $2$ .

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Этап 5.2.1.2

Умножим $48$ на $0.10410284$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 96$ на $0.32264973$ .

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $30.97437415$ из $4.99693674$ .

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 25.97743741$ и $32$ .

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $6.02256258$ .

$6.02256258$

Этап 5.3

При $0.32264973$ вторая производная имеет вид $6.02256258$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0.42264973)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0.42264973)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0.42264973, 1.57735026)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

Этап 6.2.1.2

Умножим $48$ на $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 96$ на $1$ .

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $96$ из $48$ .

$f'' (1) = - 48 + 32$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 48$ и $32$ .

$f'' (1) = - 16$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 6.3

При $1$ вторая производная имеет вид $- 16$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0.42264973, 1.57735026)$ .

Убывание на $(0.42264973, 1.57735026)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(1.57735026, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.67735026$ в степень $2$ .

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Этап 7.2.1.2

Умножим $48$ на $2.81350392$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 96$ на $1.67735026$ .

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $161.02562584$ из $135.04818842$ .

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 25.97743741$ и $32$ .

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $6.02256258$ .

$6.02256258$

Этап 7.3

При $1.67735026$ вторая производная имеет вид $6.02256258$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(1.57735026, \infty)$ .

Возрастание в области $(1.57735026, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ .

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

Этап 9