Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - 5 x)}^{3}] + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 - 5 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 - 5 x$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [2 - 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $2 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(2 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 5$ на $3$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2} \cdot 1) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 15$ на $1$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + {(2 - 5 x)}^{3} (2 x)$

Этап 1.1.3.9

Перенесем $2$ влево от ${(2 - 5 x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 \cdot {(2 - 5 x)}^{3} x$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x {(2 - 5 x)}^{2}$ из $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2}) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x {(2 - 5 x)}^{2}$ из $x^{2} (- 15 {(2 - 5 x)}^{2})$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + 2 {(2 - 5 x)}^{3} x$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x {(2 - 5 x)}^{2}$ из $2 {(2 - 5 x)}^{3} x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x {(2 - 5 x)}^{2}$ из $x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15)) + x {(2 - 5 x)}^{2} (2 (2 - 5 x))$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (x \cdot (- 15) + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $- 15$ влево от $x$ .

$x {(2 - 5 x)}^{2} (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.3

Перепишем ${(2 - 5 x)}^{2}$ в виде $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ .

$x ((2 - 5 x) (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.4

Развернем $(2 - 5 x) (2 - 5 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 (2 - 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x (2 - 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 \cdot 2 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x (4 + 2 (- 5 x) - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$x (4 - 10 x - 5 x \cdot 2 - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 x (- 5 x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x (4 - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$x (4 - 10 x - 10 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.5.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$x (4 - 20 x + 25 x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot 4 + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.7.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$(4 \cdot x + x (- 20 x) + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + x (25 x^{2})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.7.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(4 \cdot x - 20 x \cdot x + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.1.1

Перенесем $x$ .

$(4 x - 20 (x \cdot x) + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x \cdot x^{2}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x)) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 (x^{2} x^{1})) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{2 + 1}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.8.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 (2 - 5 x))$

Этап 1.1.4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 2 \cdot 2 + 2 (- 5 x))$

Этап 1.1.4.9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 + 2 (- 5 x))$

Этап 1.1.4.9.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 15 x + 4 - 10 x)$

Этап 1.1.4.10

Вычтем $10 x$ из $- 15 x$ .

$(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$

Этап 1.1.4.11

Развернем $(4 x - 20 x^{2} + 25 x^{3}) (- 25 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 x (- 25 x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot - 25 x \cdot x + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.2.1

Перенесем $x$ .

$4 \cdot - 25 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 \cdot - 25 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.3

Умножим $4$ на $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 4 x \cdot 4 - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.4

Умножим $4$ на $4$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 x^{2} (- 25 x) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{2} x - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.6.1

Перенесем $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{1 + 2} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 100 x^{2} + 16 x - 20 \cdot - 25 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.7

Умножим $- 20$ на $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 20 x^{2} \cdot 4 + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.8

Умножим $4$ на $- 20$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 x^{3} (- 25 x) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{3} x + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.10

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.10.1

Перенесем $x$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x \cdot x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.10.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.12.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 (x^{1} x^{3}) + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{1 + 3} + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.10.3

Добавим $1$ и $3$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} + 25 \cdot - 25 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.11

Умножим $25$ на $- 25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 25 x^{3} \cdot 4$

Этап 1.1.4.12.12

Умножим $4$ на $25$ .

$- 100 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 80 x^{2} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Этап 1.1.4.13

Вычтем $80 x^{2}$ из $- 100 x^{2}$ .

$- 180 x^{2} + 16 x + 500 x^{3} - 625 x^{4} + 100 x^{3}$

Этап 1.1.4.14

Добавим $500 x^{3}$ и $100 x^{3}$ .

$f' (x) = - 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- 180 x^{2} + 16 x - 625 x^{4} + 600 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 180 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 180$ является константой относительно $x$ , производная $- 180 x^{2}$ по $x$ равна $- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 180 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 180 (2 x) + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $- 180$ .

$- 360 x + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 360 x + 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 360 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $16$ на $1$ .

$- 360 x + 16 + \frac{d}{d x} [- 625 x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 625 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $- 625$ является константой относительно $x$ , производная $- 625 x^{4}$ по $x$ равна $- 625 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 360 x + 16 - 625 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 360 x + 16 - 625 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.4.3

Умножим $4$ на $- 625$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + \frac{d}{d x} [600 x^{3}]$

Этап 1.2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [600 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Поскольку $600$ является константой относительно $x$ , производная $600 x^{3}$ по $x$ равна $600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 600 (3 x^{2})$

Этап 1.2.5.3

Умножим $3$ на $600$ .

$- 360 x + 16 - 2500 x^{3} + 1800 x^{2}$

Этап 1.2.6

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 2500 x^{3} + 1800 x^{2} - 360 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 2500 x^{3}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 1800 x^{2} - 360 x + 16 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $1800 x^{2}$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) - 360 x + 16 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 360 x$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 16 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 625 x^{3}) + 4 (450 x^{2})$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x) + 4 (4) = 0$

Этап 2.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2}) + 4 (- 90 x)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4) = 0$

Этап 2.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x) + 4 (4)$ .

$4 (- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 625, \pm 5, \pm 125, \pm 25$

Этап 2.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.0016, \pm 0.2, \pm 0.008, \pm 0.04, \pm 4, \pm 0.0064, \pm 0.8, \pm 0.032, \pm 0.16, \pm 2, \pm 0.0032, \pm 0.4, \pm 0.016, \pm 0.08$

Этап 2.2.2.1.3

Подставим $0.4$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.4$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

Подставим $0.4$ в многочлен.

$- 625 \cdot {0.4}^{3} + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.2

Возведем $0.4$ в степень $3$ .

$- 625 \cdot 0.064 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.3

Умножим $- 625$ на $0.064$ .

$- 40 + 450 \cdot {0.4}^{2} - 90 \cdot 0.4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.4

Возведем $0.4$ в степень $2$ .

$- 40 + 450 \cdot 0.16 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.5

Умножим $450$ на $0.16$ .

$- 40 + 72 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.6

Добавим $- 40$ и $72$ .

$32 - 90 \cdot 0.4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.7

Умножим $- 90$ на $0.4$ .

$32 - 36 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.8

Вычтем $36$ из $32$ .

$- 4 + 4$

Этап 2.2.2.1.3.9

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 2.2.2.1.4

Поскольку $0.4$ — известный корень, разделим многочлен на $5 x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4}{5 x - 2}$

Этап 2.2.2.1.5

Разделим $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ на $5 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$5 x$

$2$

$625 x^{3}$

$450 x^{2}$

$90 x$

$4$

Этап 2.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 625 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

				-	$125 x^{2}$
	$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			-	$625 x^{3}$	+	$250 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 625 x^{3} + 250 x^{2}$ .

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$

Этап 2.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$125 x^{2}$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Этап 2.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $200 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$

Этап 2.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					+	$200 x^{2}$	-	$80 x$

Этап 2.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $200 x^{2} - 80 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$

Этап 2.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$

Этап 2.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 10 x$ на член с максимальной степенью в делителе $5 x$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							-	$10 x$	+	$4$

Этап 2.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 10 x + 4$ .

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$

Этап 2.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$125 x^{2}$	+	$40 x$	-	$2$
$5 x$	-	$2$	-	$625 x^{3}$	+	$450 x^{2}$	-	$90 x$	+	$4$
			+	$625 x^{3}$	-	$250 x^{2}$
					+	$200 x^{2}$	-	$90 x$
					-	$200 x^{2}$	+	$80 x$
							-	$10 x$	+	$4$
							+	$10 x$	-	$4$
										$0$

Этап 2.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 125 x^{2} + 40 x - 2$

Этап 2.2.2.1.6

Запишем $- 625 x^{3} + 450 x^{2} - 90 x + 4$ в виде набора множителей.

$4 ((5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $5 x - 2$ к $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $5 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 2$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 2$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Этап 2.5

Приравняем $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- 125 x^{2} + 40 x - 2$ к $0$ .

$- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- 125 x^{2} + 40 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = - 125$ , $b = 40$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (- 125 \cdot - 2)}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $40$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $500$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $1000$ из $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $600$ в виде $10^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Этап 2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $40$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $500$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $1000$ из $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $600$ в виде $10^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Этап 2.5.2.4.3

Упростим $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Этап 2.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}$

Этап 2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.1

Возведем $40$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot - 125 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 125 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 + 500 \cdot - 2}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.1.2.2

Умножим $500$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1000}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.1.3

Вычтем $1000$ из $1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{600}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.1.4

Перепишем $600$ в виде $10^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{100 (6)}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{2 \cdot - 125}$

Этап 2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $- 125$ .

$x = \frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим $\frac{- 40 \pm 10 \sqrt{6}}{- 250}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6}}{25}$

Этап 2.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Этап 2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (5 x - 2) (- 125 x^{2} + 40 x - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{5}, \frac{4 + \sqrt{6}}{25}, \frac{4 - \sqrt{6}}{25}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{2}{5}$ в $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = {(\frac{2}{5})}^{2} {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{5}$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{2^{2}}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{5^{2}} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 5 (\frac{2}{5}))}^{3}$

Этап 3.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 (- 1) (\frac{2}{5}))}^{3}$

Этап 3.1.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 + 5 \cdot (- 1 (\frac{2}{5})))}^{3}$

Этап 3.1.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{3}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot {(2 - 2)}^{3}$

Этап 3.1.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0^{3}$

Этап 3.1.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = \frac{4}{25} \cdot 0$

Этап 3.1.2.3.3

Умножим $\frac{4}{25}$ на $0$ .

$f (\frac{2}{5}) = 0$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{2}{5}$ в $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , найдем точку $(\frac{2}{5}, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{2}{5}, 0)$

Этап 3.3

Подставим $0.25797958$ в $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = {(0.25797958)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Возведем $0.25797958$ в степень $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 5 \cdot 0.25797958)}^{3}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 5$ на $0.25797958$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 {(2 - 1.28989794)}^{3}$

Этап 3.3.2.3

Вычтем $1.28989794$ из $2$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot {0.71010205}^{3}$

Этап 3.3.2.4

Возведем $0.71010205$ в степень $3$ .

$f (0.25797958) = 0.06655346 \cdot 0.35806535$

Этап 3.3.2.5

Умножим $0.06655346$ на $0.35806535$ .

$f (0.25797958) = 0.02383049$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $0.02383049$ .

$0.02383049$

Этап 3.4

Подставляя $0.25797958$ в $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , найдем точку $(0.25797958, 0.02383049)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.25797958, 0.02383049)$

Этап 3.5

Подставим $0.06202041$ в $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = {(0.06202041)}^{2} {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возведем $0.06202041$ в степень $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 5 \cdot 0.06202041)}^{3}$

Этап 3.5.2.2

Умножим $- 5$ на $0.06202041$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 {(2 - 0.31010205)}^{3}$

Этап 3.5.2.3

Вычтем $0.31010205$ из $2$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot {1.68989794}^{3}$

Этап 3.5.2.4

Возведем $1.68989794$ в степень $3$ .

$f (0.06202041) = 0.00384653 \cdot 4.82593464$

Этап 3.5.2.5

Умножим $0.00384653$ на $4.82593464$ .

$f (0.06202041) = 0.0185631$

Этап 3.5.2.6

Окончательный ответ: $0.0185631$ .

$0.0185631$

Этап 3.6

Подставляя $0.06202041$ в $f (x) = x^{2} {(2 - 5 x)}^{3}$ , найдем точку $(0.06202041, 0.0185631)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0.06202041, 0.0185631)$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{2}{5}, 0), (0.25797958, 0.02383049), (0.06202041, 0.0185631)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 0.06202041) \cup (0.06202041, 0.25797958) \cup (0.25797958, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0.06202041)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 {(- 0.03797958)}^{3} + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.03797958$ в степень $3$ .

$f'' (- 0.03797958) = - 2500 \cdot - 0.00005478 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 2500$ на $- 0.00005478$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 {(- 0.03797958)}^{2} - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 0.03797958$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 1800 \cdot 0.00144244 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Этап 5.2.1.4

Умножим $1800$ на $0.00144244$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 - 360 \cdot - 0.03797958 + 16$

Этап 5.2.1.5

Умножим $- 360$ на $- 0.03797958$ .

$f'' (- 0.03797958) = 0.13695907 + 2.59640862 + 13.67265229 + 16$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $0.13695907$ и $2.59640862$ .

$f'' (- 0.03797958) = 2.73336769 + 13.67265229 + 16$

Этап 5.2.2.2

Добавим $2.73336769$ и $13.67265229$ .

$f'' (- 0.03797958) = 16.40601999 + 16$

Этап 5.2.2.3

Добавим $16.40601999$ и $16$ .

$f'' (- 0.03797958) = 32.40601999$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $32.40601999$ .

$32.40601999$

Этап 5.3

При $- 0.03797958$ вторая производная имеет вид $32.40601999$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 0.06202041)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 0.06202041)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(0.06202041, 0.25797958)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 {(0.15\overline{9})}^{3} + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $0.15\overline{9}$ в степень $3$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 2500 \cdot 0.004096 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 2500$ на $0.004096$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 {(0.15\overline{9})}^{2} - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Этап 6.2.1.3

Возведем $0.15\overline{9}$ в степень $2$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 1800 \cdot 0.0256 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Этап 6.2.1.4

Умножим $1800$ на $0.0256$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 360 \cdot 0.15\overline{9} + 16$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 360$ на $0.15\overline{9}$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 10.24 + 46.08 - 57.6 + 16$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 10.24$ и $46.08$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = 35.84 - 57.6 + 16$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $57.6$ из $35.84$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 21.76 + 16$

Этап 6.2.2.3

Добавим $- 21.76$ и $16$ .

$f'' (0.15\overline{9}) = - 5.76$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 5.76$ .

$- 5.76$

Этап 6.3

При $0.15\overline{9}$ вторая производная имеет вид $- 5.76$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0.06202041, 0.25797958)$ .

Убывание на $(0.06202041, 0.25797958)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0.25797958, \frac{2}{5})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 {(0.32898979)}^{3} + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.32898979$ в степень $3$ .

$f'' (0.32898979) = - 2500 \cdot 0.03560797 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 2500$ на $0.03560797$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 {(0.32898979)}^{2} - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.32898979$ в степень $2$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 1800 \cdot 0.10823428 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Этап 7.2.1.4

Умножим $1800$ на $0.10823428$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 360 \cdot 0.32898979 + 16$

Этап 7.2.1.5

Умножим $- 360$ на $0.32898979$ .

$f'' (0.32898979) = - 89.01993814 + 194.82171321 - 118.43632614 + 16$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 89.01993814$ и $194.82171321$ .

$f'' (0.32898979) = 105.80177507 - 118.43632614 + 16$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $118.43632614$ из $105.80177507$ .

$f'' (0.32898979) = - 12.63455107 + 16$

Этап 7.2.2.3

Добавим $- 12.63455107$ и $16$ .

$f'' (0.32898979) = 3.36544892$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $3.36544892$ .

$3.36544892$

Этап 7.3

При $0.32898979$ вторая производная имеет вид $3.36544892$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0.25797958, \frac{2}{5})$ .

Возрастание в области $(0.25797958, \frac{2}{5})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{2}{5}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 2500 {(0.5)}^{3} + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $3$ .

$f'' (0.5) = - 2500 \cdot 0.125 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Этап 8.2.1.2

Умножим $- 2500$ на $0.125$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 {(0.5)}^{2} - 360 \cdot 0.5 + 16$

Этап 8.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 1800 \cdot 0.25 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Этап 8.2.1.4

Умножим $1800$ на $0.25$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 360 \cdot 0.5 + 16$

Этап 8.2.1.5

Умножим $- 360$ на $0.5$ .

$f'' (0.5) = - 312.5 + 450 - 180 + 16$

Этап 8.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $- 312.5$ и $450$ .

$f'' (0.5) = 137.5 - 180 + 16$

Этап 8.2.2.2

Вычтем $180$ из $137.5$ .

$f'' (0.5) = - 42.5 + 16$

Этап 8.2.2.3

Добавим $- 42.5$ и $16$ .

$f'' (0.5) = - 26.5$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $- 26.5$ .

$- 26.5$

Этап 8.3

При $0.5$ вторая производная имеет вид $- 26.5$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{2}{5}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{2}{5}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$ .

$(0.06202041, 0.0185631), (0.25797958, 0.02383049), (\frac{2}{5}, 0)$

Этап 10