Математический анализ Примеры

$f (x) = - 5 - x^{\frac{4}{5}}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $- 5 - x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.1.1.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{4}{5}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $5$ из $4$ .

$0 - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Этап 1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Этап 1.1.2.8

Объединим $\frac{4}{5}$ и $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$0 - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Этап 1.1.2.9

Перенесем $x^{- \frac{1}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.1.3

Вычтем $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{4}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ по $x$ равна $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Этап 1.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 1$ .

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Этап 1.2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Этап 1.2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Этап 1.2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Этап 1.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Этап 1.2.7.2

Вычтем $5$ из $- 1$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Этап 1.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Этап 1.2.9

Объединим $x^{- \frac{6}{5}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Этап 1.2.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{4}{5}) \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $\frac{4}{5}$ на $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$

Этап 1.2.11

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Этап 1.2.12

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Этап 1.2.12.2

Перенесем $x^{- \frac{6}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $4 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Не найдено значений, которые могут сделать вторую производную равной $0$ .

Нет точек перегиба