Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\frac{1}{5} x)$ ; $(5, \frac{π}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 5$ и $y = \frac{π}{4}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{1}{5} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Этап 1.1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{5} x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{5} x)}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x]$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]$

Этап 1.2.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Этап 1.2.6

Умножим $\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$ на $1$ .

$\frac{1}{5 (1 + {(\frac{x}{5})}^{2})}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{5 (1 + \frac{x^{2}}{5^{2}})}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{5 \cdot 1 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Этап 1.3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{5^{2}}}$

Этап 1.3.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{1}{5 + 5 \frac{x^{2}}{25}}$

Этап 1.3.3.3

Объединим $5$ и $\frac{x^{2}}{25}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{25}}$

Этап 1.3.3.4

Сократим общий множитель $5$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 (x^{2})}{25}}$

Этап 1.3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Этап 1.3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5 + \frac{5 x^{2}}{5 \cdot 5}}$

Этап 1.3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{5 + \frac{x^{2}}{5}}$

Этап 1.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5}$

Этап 1.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Этап 1.3.5.2

Объединим $5$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.3.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Этап 1.3.5.4

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 25}{5}}$

Этап 1.3.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{5}{x^{2} + 25}$

Этап 1.3.7

Умножим $\frac{5}{x^{2} + 25}$ на $1$ .

$\frac{5}{x^{2} + 25}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 5$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} + 25}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{5}{25 + 25}$

Этап 1.5.1.2

Добавим $25$ и $25$ .

$\frac{5}{50}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $5$ и $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (1)}{50}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $50$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Этап 1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 10}$

Этап 1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{10}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{1}{10}$ и координаты заданной точки $(5, \frac{π}{4})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = \frac{1}{10} \cdot (x - (5))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{1}{10} \cdot (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} \cdot (x - 5)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{π}{4} = \frac{1}{10} x + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{1}{10}$ и $x$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{10} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 (2)} \cdot - 5$

Этап 2.3.1.5.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{5 \cdot 2} \cdot (5 \cdot - 1)$

Этап 2.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 2.3.1.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{π}{4} = \frac{x}{10} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{x}{10} - \frac{2}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 2 + π}{4}$

Этап 2.3.3.4

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) + π}{4}$

Этап 2.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $π$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2) - 1 (- π)}{4}$

Этап 2.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (2) - 1 (- π)$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 1 (2 - π)}{4}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{10} - \frac{2 - π}{4}$

Этап 2.3.3.8

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{10} x - \frac{2 - π}{4}$

Этап 3