Математический анализ Примеры

$y = 7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{2}$ и $y = 5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $7 + \cot (x) - 2 \csc (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Этап 1.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \csc (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \csc (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$0 - \csc^{2} (x) - 2 (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$0 - \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вычтем $\csc^{2} (x)$ из $0$ .

$- \csc^{2} (x) + 2 \csc (x) \cot (x)$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$2 \cot (x) \csc (x) - \csc^{2} (x)$

Этап 1.5

Найдем производную в $x = \frac{π}{2}$ .

$2 \cot (\frac{π}{2}) \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$2 \cdot 0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 1.6.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$0 \csc (\frac{π}{2}) - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 1.6.1.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 \cdot 1 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 1.6.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - \csc^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 1.6.1.5

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 - 1^{2}$

Этап 1.6.1.6

Единица в любой степени равна единице.

$0 - 1 \cdot 1$

Этап 1.6.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - 1$

Этап 1.6.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{2}, 5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 5 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 5 = - 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 5 = - 1 x - 1 (- \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y - 5 = - x - 1 (- \frac{π}{2})$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 1 (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y - 5 = - x + 1 \frac{π}{2}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $\frac{π}{2}$ на $1$ .

$y - 5 = - x + \frac{π}{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = - x + \frac{π}{2} + 5$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - x + \frac{π}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - x + \frac{π + 5 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $5$ на $2$ .

$y = - x + \frac{π + 10}{2}$

Этап 3