Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 7}$ ; $(2, \frac{4}{9})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 2$ и $y = \frac{4}{9}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 7$ .

$\frac{(x + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + 7) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x + 7$ .

$\frac{2 \cdot (x + 7) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 7]}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x + 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 7) x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 7 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{2 x^{2} + 14 x - x^{2}}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 14 x}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $14 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 14}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 14$ .

$\frac{x (x + 14)}{{(x + 7)}^{2}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 2$ .

$\frac{(2) ((2) + 14)}{{((2) + 7)}^{2}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $2$ и $14$ .

$\frac{2 \cdot 16}{{(2 + 7)}^{2}}$

Этап 1.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Добавим $2$ и $7$ .

$\frac{2 \cdot 16}{9^{2}}$

Этап 1.5.2.2

Возведем $9$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 16}{81}$

Этап 1.5.3

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{32}{81}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $\frac{32}{81}$ и координаты заданной точки $(2, \frac{4}{9})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{4}{9}) = \frac{32}{81} \cdot (x - (2))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $\frac{32}{81} \cdot (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{4}{9} = 0 + 0 + \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} \cdot (x - 2)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32}{81} x + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.4

Объединим $\frac{32}{81}$ и $x$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32}{81} \cdot - 2$

Этап 2.3.1.5

Умножим $\frac{32}{81} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Объединим $\frac{32}{81}$ и $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{32 \cdot - 2}{81}$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $32$ на $- 2$ .

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64}{81}$

Этап 2.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{4}{9} = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81}$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $\frac{4}{9}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9}$

Этап 2.3.2.2

Чтобы записать $\frac{4}{9}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 2.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $81$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Умножим $\frac{4}{9}$ на $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9}$

Этап 2.3.2.3.2

Умножим $9$ на $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{64}{81} + \frac{4 \cdot 9}{81}$

Этап 2.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 4 \cdot 9}{81}$

Этап 2.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим $4$ на $9$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 64 + 36}{81}$

Этап 2.3.2.5.2

Добавим $- 64$ и $36$ .

$y = \frac{32 x}{81} + \frac{- 28}{81}$

Этап 2.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{32 x}{81} - \frac{28}{81}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{32}{81} x - \frac{28}{81}$

Этап 3