Математический анализ Примеры

$y = arcsec (6 x)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ и $y = \frac{π}{4}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arcsec (x)$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.2

Производная $arcsec (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 x)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{{(6 (x))}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило умножения к $6 (x)$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{6^{2} x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.2.2.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [6 x]$

Этап 1.2.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ .

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6 x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}} \cdot 1$

Этап 1.2.6

Умножим $\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x \sqrt{36 x^{2} - 1}}$

Этап 1.3

Найдем производную в $x = \frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{(\frac{\sqrt{2}}{6}) \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{6}$ и $\sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1}}{6}}$

Этап 1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 {(\frac{\sqrt{2}}{6})}^{2} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{6}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2^{1}}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 \frac{2}{6^{2}} - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.5

Сократим общий множитель $36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (36 (\frac{2}{36}) - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 (2 - 1)}}{6}}$

Этап 1.4.2.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 \cdot 1}}{6}}$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{6}}$

Этап 1.4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{6}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.5

Умножим $\frac{6}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.6

Умножим $\frac{6}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.1

Умножим $\frac{6}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{6 \sqrt{2}}{2}$

Этап 1.4.8

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2}$

Этап 1.4.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 1.4.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \sqrt{2}}{1}$

Этап 1.4.8.2.4

Разделим $3 \sqrt{2}$ на $1$ .

$3 \sqrt{2}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $3 \sqrt{2}$ и координаты заданной точки $(\frac{\sqrt{2}}{6}, \frac{π}{4})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{4}) = 3 \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{\sqrt{2}}{6}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{π}{4} = 0 + 0 + 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} \cdot (x - \frac{\sqrt{2}}{6})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{6})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ в числитель.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{6}$

Этап 2.3.1.4.3

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{3 (2)}$

Этап 2.3.1.4.4

Сократим общий множитель.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + 3 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.4.5

Перепишем это выражение.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.3.1.5

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (- \sqrt{2})}{2}$

Этап 2.3.1.6

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}$

Этап 2.3.1.7

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}$

Этап 2.3.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 2.3.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Этап 2.3.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.10.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.10.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 2.3.1.10.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 2.3.1.10.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 2.3.1.10.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.10.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 2.3.1.10.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2^{1}}{2}$

Этап 2.3.1.10.1.5

Найдем экспоненту.

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 2.3.1.10.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 2}{2}$

Этап 2.3.1.10.3

Разделим $- 2$ на $2$ .

$y - \frac{π}{4} = 3 \sqrt{2} x - 1$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{π}{4}$ к обеим частям уравнения.

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 2.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 \cdot 4 + π}{4}$

Этап 2.3.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 4 + π}{4}$

Этап 2.3.3.5

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) + π}{4}$

Этап 2.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $π$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4) - 1 (- π)}{4}$

Этап 2.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (4) - 1 (- π)$ .

$y = 3 \sqrt{2} x + \frac{- 1 (4 - π)}{4}$

Этап 2.3.3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 3 \sqrt{2} x - \frac{4 - π}{4}$

Этап 3