Математический анализ Примеры

$\cos (5 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{10})$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = \frac{π}{10}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (\cos (5 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 5 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 1.2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 y$ .

$- \sin (5 y) \frac{d}{d x} [5 y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (5 y) (5 \frac{d}{d x} [y])$

Этап 1.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \sin (5 y) \frac{d}{d x} [y]$

Этап 1.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 5 \sin (5 y) y'$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- 5 \sin (5 y) y' = 1$

Этап 1.5

Разделим каждый член $- 5 \sin (5 y) y' = 1$ на $- 5 \sin (5 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим каждый член $- 5 \sin (5 y) y' = 1$ на $- 5 \sin (5 y)$ .

$\frac{- 5 \sin (5 y) y'}{- 5 \sin (5 y)} = \frac{1}{- 5 \sin (5 y)}$

Этап 1.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \sin (5 y) y'}{- 5 \sin (5 y)} = \frac{1}{- 5 \sin (5 y)}$

Этап 1.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (5 y) y'}{\sin (5 y)} = \frac{1}{- 5 \sin (5 y)}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель $\sin (5 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (5 y) y'}{\sin (5 y)} = \frac{1}{- 5 \sin (5 y)}$

Этап 1.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{1}{- 5 \sin (5 y)}$

Этап 1.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим дроби.

$y' = \frac{1}{- 5} \cdot \frac{1}{\sin (5 y)}$

Этап 1.5.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (5 y)}$ в $\csc (5 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 5} \csc (5 y)$

Этап 1.5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{1}{5} \csc (5 y)$

Этап 1.5.3.4

Объединим $\csc (5 y)$ и $\frac{1}{5}$ .

$y' = - \frac{\csc (5 y)}{5}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (5 y)}{5}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 0$ в $y = \frac{π}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$- \frac{\csc (5 y)}{5}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $\frac{π}{10}$ .

$- \frac{\csc (5 (\frac{π}{10}))}{5}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$- \frac{\csc (5 \frac{π}{5 (2)})}{5}$

Этап 1.7.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{\csc (5 \frac{π}{5 \cdot 2})}{5}$

Этап 1.7.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{\csc (\frac{π}{2})}{5}$

Этап 1.7.3.2

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{1}{5}$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- \frac{1}{5}$ и координаты заданной точки $(0, \frac{π}{10})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{10}) = - \frac{1}{5} \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{π}{10} = - \frac{1}{5} \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- \frac{1}{5} \cdot (x + 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - \frac{π}{10} = - \frac{1}{5} \cdot x$

Этап 2.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{5}$ .

$y - \frac{π}{10} = - \frac{x}{5}$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{π}{10}$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{π}{10}$

Этап 2.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{5} x) + \frac{π}{10}$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{5} x + \frac{π}{10}$

Этап 3