Математический анализ Примеры

$y = {(3 x - 1)}^{- 6}$ , $(0, 1)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 6}$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 6$ .

$- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x - 1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} (3 + 0)$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$- 6 {(3 x - 1)}^{- 7} \cdot 3$

Этап 1.2.6.2

Умножим $3$ на $- 6$ .

$- 18 {(3 x - 1)}^{- 7}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Этап 1.3.2

Объединим $- 18$ и $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{7}}$ .

$\frac{- 18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{18}{{(3 x - 1)}^{7}}$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 0$ .

$- \frac{18}{{(3 (0) - 1)}^{7}}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$- \frac{18}{{(0 - 1)}^{7}}$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{18}{{(- 1)}^{7}}$

Этап 1.5.1.3

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$- \frac{18}{- 1}$

Этап 1.5.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Разделим $18$ на $- 1$ .

$- - 18$

Этап 1.5.2.2

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$18$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $18$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 18 \cdot (x - (0))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = 18 \cdot (x + 0)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = 18 x$

Этап 2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = 18 x + 1$

Этап 3