Математический анализ Примеры

${(e^{4 x} - 2)}^{2}$ , $(0, 1)$

Этап 1

Запишем ${(e^{4 x} - 2)}^{2}$ в виде уравнения.

$y = {(e^{4 x} - 2)}^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{4 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{4 x} - 2$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{4 x} - 2$ .

$2 (e^{4 x} - 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x} - 2]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $e^{4 x} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.4.3.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 \cdot e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 2.4.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x} + 0)$

Этап 2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Добавим $4 e^{4 x}$ и $0$ .

$2 (e^{4 x} - 2) (4 e^{4 x})$

Этап 2.4.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$8 (e^{4 x} - 2) e^{4 x}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 e^{4 x} + 8 \cdot - 2) e^{4 x}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 e^{4 x} e^{4 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Этап 2.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $e^{4 x}$ на $e^{4 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перенесем $e^{4 x}$ .

$8 (e^{4 x} e^{4 x}) + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Этап 2.5.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 e^{4 x + 4 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Этап 2.5.3.1.3

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$8 e^{8 x} + 8 \cdot - 2 e^{4 x}$

Этап 2.5.3.2

Умножим $8$ на $- 2$ .

$8 e^{8 x} - 16 e^{4 x}$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 0$ .

$8 e^{8 (0)} - 16 e^{4 (0)}$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $8$ на $0$ .

$8 e^{0} - 16 e^{4 (0)}$

Этап 2.7.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 \cdot 1 - 16 e^{4 (0)}$

Этап 2.7.1.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 - 16 e^{4 (0)}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$8 - 16 e^{0}$

Этап 2.7.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 - 16 \cdot 1$

Этап 2.7.1.6

Умножим $- 16$ на $1$ .

$8 - 16$

Этап 2.7.2

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 8$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 8$ и координаты заданной точки $(0, 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 8 \cdot (x - (0))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 1 = - 8 \cdot (x + 0)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 1 = - 8 x$

Этап 3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = - 8 x + 1$

Этап 4