Математический анализ Примеры

$f (x) = 18 x - x^{2}$ , $[0, 5]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, 5]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 18 x - x^{2} d x)$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 18 x d x + \int_{0}^{5} - x^{2} d x)$

Этап 6

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 \int_{0}^{5} x d x + \int_{0}^{5} - x^{2} d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} - x^{2} d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) + \int_{0}^{5} - x^{2} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) - \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{5}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $5$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

Этап 11.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} - 0) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2} + 0) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.5

Добавим $\frac{25}{2}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (18 (\frac{25}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.6

Объединим $18$ и $\frac{25}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{18 \cdot 25}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.7

Умножим $18$ на $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{450}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8

Сократим общий множитель $450$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $450$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{2 \cdot 225}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{2 \cdot 225}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{2 \cdot 225}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{225}{1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.8.2.4

Разделим $225$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.9

Возведем $5$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Этап 11.2.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

Этап 11.2.3.11

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.11.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Этап 11.2.3.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.11.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Этап 11.2.3.11.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

Этап 11.2.3.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} - 0))$

Этап 11.2.3.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - (\frac{125}{3} + 0))$

Этап 11.2.3.13

Добавим $\frac{125}{3}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 - \frac{125}{3})$

Этап 11.2.3.14

Чтобы записать $225$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (225 \cdot \frac{3}{3} - \frac{125}{3})$

Этап 11.2.3.15

Объединим $225$ и $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{225 \cdot 3}{3} - \frac{125}{3})$

Этап 11.2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{225 \cdot 3 - 125}{3})$

Этап 11.2.3.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.17.1

Умножим $225$ на $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{675 - 125}{3})$

Этап 11.2.3.17.2

Вычтем $125$ из $675$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{550}{3})$

Этап 12

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{550}{3}$

Этап 12.2

Добавим $5$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{550}{3}$

Этап 13

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $5$ из $550$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (110)}{3}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 110}{3}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{110}{3}$

Этап 14