Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x - 7)}^{2}$ , $[6, 9]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[6, 9]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{6}^{9} {(x - 7)}^{2} d x)$

Этап 5

Пусть $u = x - 7$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 6 - 7$

Этап 5.3

Вычтем $7$ из $6$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 9 - 7$

Этап 5.5

Вычтем $7$ из $9$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $2$ и в $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

Этап 7.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

Этап 7.2.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Этап 7.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{8 + 1}{3})$

Этап 7.2.7

Добавим $8$ и $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{9}{3})$

Этап 7.2.8

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

Этап 7.2.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

Этап 7.2.8.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

Этап 7.2.8.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (\frac{3}{1})$

Этап 7.2.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 6} (3)$

Этап 8

Вычтем $6$ из $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Этап 9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

Этап 9.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = 1$

Этап 10