Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Этап 5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\sin (x)$ в $\frac{π}{2}$ и в $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 - \sin (0))$

Этап 6.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 - 0)$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1 + 0)$

Этап 6.2.4

Добавим $1$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (1)$

Этап 7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot 1$

Этап 7.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot 1$

Этап 8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot 1$

Этап 9

Умножим $\frac{2}{π}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot 1$

Этап 10

Умножим $\frac{2}{π}$ на $1$ .

$A (x) = \frac{2}{π}$

Этап 11