Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} 4 e^{x} d x)$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 \int_{- 2}^{2} e^{x} d x)$

Этап 6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{x}]_{- 2}^{2}))$

Этап 7

Найдем значение $e^{x}$ в $2$ и в $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - e^{- 2}))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 (e^{2} - \frac{1}{e^{2}}))$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + 4 (- \frac{1}{e^{2}}))$

Этап 8.3

Умножим $4 (- \frac{1}{e^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - 4 \frac{1}{e^{2}})$

Этап 8.3.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} + \frac{- 4}{e^{2}})$

Этап 8.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Этап 9

Добавим $2$ и $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2} - \frac{4}{e^{2}})$

Этап 10

Применим свойство дистрибутивности.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Этап 11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (e^{2})) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 e^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot (- \frac{4}{e^{2}})$

Этап 12

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{e^{2}}$ в числитель.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 4}{e^{2}}$

Этап 12.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (- 1)}{e^{2}}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель.

$A (x) = e^{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{e^{2}}$

Этап 12.4

Перепишем это выражение.

$A (x) = e^{2} + \frac{- 1}{e^{2}}$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (x) = e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$

Этап 14