Математический анализ Примеры

$(4 - x) x^{- 3}$

Этап 1

Запишем $(4 - x) x^{- 3}$ в виде функции.

$f (x) = (4 - x) x^{- 3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (4 - x) x^{- 3} d x$

Этап 4

Умножим $(4 - x) x^{- 3}$ .

$\int 4 x^{- 3} - x \cdot x^{- 3} d x$

Этап 5

Умножим $x$ на $x^{- 3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $x^{- 3}$ .

$\int 4 x^{- 3} - (x^{- 3} x) d x$

Этап 5.2

Умножим $x^{- 3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int 4 x^{- 3} - (x^{- 3} x^{1}) d x$

Этап 5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{- 3} - x^{- 3 + 1} d x$

Этап 5.3

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\int 4 x^{- 3} - x^{- 2} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 x^{- 3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x^{- 3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - x^{- 2} d x$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - x^{- 2} d x$

Этап 9.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - x^{- 2} d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$4 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим.

$\frac{- 2}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2}} - - x^{- 1} + C$

Этап 12.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + 1 x^{- 1} + C$

Этап 12.2.3

Умножим $x^{- 1}$ на $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} + x^{- 1} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (4 - x) x^{- 3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{2}} + x^{- 1} + C$