Математический анализ Примеры

$\sin (3 x) + \cos (3 x)$

Этап 1

Запишем $\sin (3 x) + \cos (3 x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (3 x) + \cos (3 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (3 x) + \cos (3 x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sin (3 x) d x + \int \cos (3 x) d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 x) d x$

Этап 6

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 x) d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 x) d x$

Этап 8

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (3 x) d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Тогда $d u_{2} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 10

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C)$

Этап 13

Упростим.

$- \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C$

Этап 14

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C$

Этап 14.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$- \frac{\cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (3 x) + \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (3 x) + \frac{1}{3} \sin (3 x) + C$