Математический анализ Примеры

$x^{7} e^{x^{8}}$

Этап 1

Запишем $x^{7} e^{x^{8}}$ в виде функции.

$f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{7} e^{x^{8}} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ в виде ${u_{1}}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ в виде ${u_{1}}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.2.4.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${u_{1}}^{3}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 5.4

Объединим $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ и $e^{{u_{1}}^{4}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 7.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ в виде ${u_{2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2}}{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 8.3

Объединим $\frac{u_{2}}{2}$ и $e^{{u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u_{2} e^{{u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{4} \int u_{2} e^{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 11

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Тогда $d u_{3} = 2 u_{2} d u_{2}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Пусть $u_{3} = {u_{2}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Дифференцируем ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Этап 11.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{2}$

Этап 11.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$\frac{1}{4} \int e^{u_{3}} \frac{1}{2} d u_{3}$

Этап 12

Объединим $e^{u_{3}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Этап 13

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 14.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Этап 15

Интеграл $e^{u_{3}}$ по $u_{3}$ имеет вид $e^{u_{3}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{3}} + C)$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{8} e^{u_{3}} + C$

Этап 17

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{u_{2}}^{2}} + C$

Этап 17.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({u_{1}}^{2})}^{2}} + C$

Этап 17.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$

Этап 18

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{7} e^{x^{8}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} e^{{({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C$