Математический анализ Примеры

$\frac{2 x^{4}}{5} - 6 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 3$

Этап 1

Запишем $\frac{2 x^{4}}{5} - 6 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 3$ в виде функции.

$f (x) = \frac{2 x^{4}}{5} - 6 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 3$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4}}{5} - 6 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 3 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2 x^{4}}{5} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{2}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 7

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 5 x^{2} d x + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 9

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 \int x^{2} d x + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 9 x d x + \int 3 d x$

Этап 11

Поскольку $- 9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 9$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 9 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Этап 13

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 14.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Этап 14.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 5 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 9 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Этап 14.2

Упростим.

$\frac{2 x^{5}}{25} - \frac{3 x^{4}}{2} - \frac{5 x^{3}}{3} - \frac{9 x^{2}}{2} + 3 x + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{25} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 3 x + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2 x^{4}}{5} - 6 x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 3$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{25} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 3 x + C$