Математический анализ Примеры

$\sin (4 x) \cos (4 x)$

Этап 1

Запишем $\sin (4 x) \cos (4 x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (4 x) \cos (4 x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (4 x) \cos (4 x) d x$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \sin (4 x)$ . Тогда $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = \sin (4 x)$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 4.1.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Этап 4.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Этап 4.1.3.3.2

Перенесем $4$ влево от $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 5

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{u_{2}}{4} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{8} \sin^{2} (4 x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (4 x) \cos (4 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{8} \sin^{2} (4 x) + C$