Математический анализ Примеры

$\frac{x^{3}}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{3}}{1 + x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3}}{1 + x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Изменим порядок $1$ и $x^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x^{3}$ на $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 0 + x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

Этап 5.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Этап 5.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x + \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int x d x + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 10

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 10.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 10.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 10.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 11.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 12

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 13

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 14

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 15

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{3}}{1 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$