Математический анализ Примеры

$\sec^{6} (x)$

Этап 1

Запишем $\sec^{6} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sec^{6} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sec^{6} (x) d x$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Запишем $6$ как $4$ плюс $2$

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Этап 4.2

Перепишем ${\sec (x)}^{4 + 2}$ в виде $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 4.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4.4

Перепишем ${\sec (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 6.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Этап 7

Развернем ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем ${(1 + u^{2})}^{2}$ в виде $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7.5

Изменим порядок $u^{2}$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7.6

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7.7

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7.8

Умножим $u^{2}$ на $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 7.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 7.10

Добавим $2$ и $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Этап 7.11

Добавим $u^{2}$ и $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Этап 7.12

Изменим порядок $2 u^{2}$ и $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Этап 7.13

Перенесем $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Этап 13.2

Упростим.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sec^{6} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$