Математический анализ Примеры

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = - \frac{1}{x}$ . Тогда $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ , следовательно $x^{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - \frac{1}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Этап 4.1.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Этап 4.1.3.5.2

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$x^{- 2}$

Этап 4.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} d u$

Этап 5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{1}{x}$ .

$e^{- \frac{1}{x}} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- \frac{1}{x}} + C$