Математический анализ Примеры

$\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)} d x$

Этап 5

Пусть $u = 3 + \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 3 + \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $3 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $3 + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 5.1.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Этап 5.1.4

Вычтем $\sin (x)$ из $0$ .

$- \sin (x)$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$- 4 \ln (| u |) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $3 + \cos (x)$ .

$- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- 4 \ln (| 3 + \cos (x) |) + C$