Математический анализ Примеры

$5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Запишем $5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ в виде функции.

$f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Этап 5

Поскольку $\ln (5)$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\ln (5)$ из-под знака интеграла.

$\ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Этап 6

Интеграл $5^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + \int \frac{2}{x^{2} + 1} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Этап 8.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C$ .

$\ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C) + 2 (\arctan (x) + C)$

Этап 10

Упростим.

$5^{x} + 2 \arctan (x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5^{x} \ln (5) + \frac{2}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $5^{x} + 2 \arctan (x) + C$