Математический анализ Примеры

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Запишем ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде функции.

$f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}} d x$

Этап 5

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int \sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\sqrt{{(9 - {(3 \sin (t))}^{2})}^{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{{(9 - (3^{2} \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \sqrt{{(9 - (9 \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \sqrt{{(9 - 9 \sin^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \sqrt{{(9 (1) - 9 \sin^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{{(9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{{(9 (1 - \sin^{2} (t)))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \sqrt{{(9 \cos^{2} (t))}^{1}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.6

Упростим.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.7

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 6.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 6.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 6.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 6.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Этап 7

Поскольку $9$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Этап 8

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (t)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Этап 13

Пусть $u = 2 t$ . Тогда $d u = 2 d t$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u = 2 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 13.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 14

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 15

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 16

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Этап 17

Упростим.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Этап 19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Этап 19.3

Объединим $\frac{9}{2}$ и $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

Этап 19.4

Умножим $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Этап 19.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

Этап 20

Изменим порядок членов.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

Этап 21

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$