Математический анализ Примеры

$5 x e^{- x^{2}}$

Этап 1

Запишем $5 x e^{- x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = 5 x e^{- x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 x e^{- x^{2}} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x e^{- x^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$5 \int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 \int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 (- \frac{1}{2} u_{2} + C)$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$5 (- \frac{1}{2} u_{2}) + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $u_{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 (- \frac{u_{2}}{2}) + C$

Этап 8.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{u_{2}}{2} + C$

Этап 8.2.3

Объединим $- 5$ и $\frac{u_{2}}{2}$ .

$\frac{- 5 u_{2}}{2} + C$

Этап 8.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 u_{2}}{2} + C$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- x^{2}}$ .

$- \frac{5 e^{- x^{2}}}{2} + C$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$- \frac{5}{2} e^{- x^{2}} + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 x e^{- x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{5}{2} e^{- x^{2}} + C$