Математический анализ Примеры

$\frac{1}{50 x - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{50 x - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{50 x - x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{50 x - x^{2}} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $50 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $50 x$ .

$\frac{1}{x \cdot 50 - x^{2}}$

Этап 4.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 50 + x (- x)}$

Этап 4.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 50 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (50 - x)}$

Этап 4.1.1.4

Умножим $x$ на $50 - x$ .

$\frac{1}{x (50 - x)}$

Этап 4.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{50 - x}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (50 - x)$ .

$\frac{1 (x (50 - x))}{x (50 - x)} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x (50 - x))}{x (50 - x)} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (50 - x)}{50 - x} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $50 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (50 - x)}{50 - x} = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x (50 - x))}{x} + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $A (50 - x)$ на $1$ .

$1 = A (50 - x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 50 + A (- x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $50$ влево от $A$ .

$1 = 50 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = 50 \cdot A - A x + \frac{(B) (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6.5

Сократим общий множитель $50 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = 50 A - A x + \frac{B (x (50 - x))}{50 - x}$

Этап 4.1.6.5.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$1 = 50 A - A x + (B) (x)$

$1 = 50 A - A x + B x$

Этап 4.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = 50 A - x A + B x$

Этап 4.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = 50 A - x A + B x$

Этап 4.1.7.3

Перенесем $50 A$ .

$1 = - x A + B x + 50 A$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 50 A$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 50 A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 50 A$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = 50 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $50 A = 1$ .

$50 A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.1.2

Разделим каждый член $50 A = 1$ на $50$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Разделим каждый член $50 A = 1$ на $50$ .

$\frac{50 A}{50} = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{50 A}{50} = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - 1 A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $\frac{1}{50}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $\frac{1}{50}$ .

$0 = - 1 (\frac{1}{50}) + B$

$A = \frac{1}{50}$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Перепишем $- 1 (\frac{1}{50})$ в виде $- (\frac{1}{50})$ .

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

$0 = - \frac{1}{50} + B$

$A = \frac{1}{50}$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - \frac{1}{50} + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{50} + B = 0$ .

$- \frac{1}{50} + B = 0$

$A = \frac{1}{50}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $\frac{1}{50}$ к обеим частям уравнения.

$B = \frac{1}{50}$

$A = \frac{1}{50}$

$B = \frac{1}{50}$

$A = \frac{1}{50}$

Этап 4.3.4

Решим систему уравнений.

$B = \frac{1}{50} A = \frac{1}{50}$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$B = \frac{1}{50}, A = \frac{1}{50}$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{50 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{50}}{x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Этап 4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{50} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{1}{50}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{50 x} + \frac{\frac{1}{50}}{50 - x}$

Этап 4.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{50 x} + \frac{1}{50} \cdot \frac{1}{50 - x}$

Этап 4.5.4

Умножим $\frac{1}{50}$ на $\frac{1}{50 - x}$ .

$\int \frac{1}{50 x} + \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{50 x} d x + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{50}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{50}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{50} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{50 (50 - x)} d x$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{50}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{50}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int \frac{1}{50 - x} d x$

Этап 9

Пусть $u = 50 - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u = 50 - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 9.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int \frac{- 1}{u} d u$

Этап 10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} \int - \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{50} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{50} (- (\ln (| u |) + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим.

$\frac{1}{50} \ln (| x |) + \frac{1}{50} (- \ln (| u |)) + C$

Этап 13.2

Объединим $\frac{1}{50}$ и $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{\ln (| u |)}{50} + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $50 - x$ .

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{\ln (| 50 - x |)}{50} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{1}{50} \ln (| 50 - x |) + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{50 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{50} \ln (| x |) - \frac{1}{50} \ln (| 50 - x |) + C$