Математический анализ Примеры

$x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

Запишем $x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Этап 5.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Этап 5.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Этап 5.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Этап 5.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Этап 6

Вынесем $\sin^{2} (t)$ за скобки.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (t)$ в виде $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Этап 8

Пусть $u = \cos (t)$ . Тогда $d u = - \sin (t) d t$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = \cos (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Этап 8.1.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Этап 9

Умножим $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $- 1 u^{2}$ в виде $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Этап 10.2

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Этап 10.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Этап 13

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u^{4}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 15.2

Упростим.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Этап 16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (t)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

Этап 16.2

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} \sqrt{1 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$