Математический анализ Примеры

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Этап 1

Запишем ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ в виде функции.

$f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ в виде $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\int (\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Этап 4.2

Развернем $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.2

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Этап 4.3.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Этап 4.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Этап 4.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 4.3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 4.3.3

Добавим $\cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) d x$

Этап 4.4

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 4.5

Применим формулу Пифагора.

$\int 1 + 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Этап 4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\int 1 + \sin (x) (2 \cos (x)) d x$

Этап 4.6.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\int 1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) d x$

Этап 4.6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\int 1 + \sin (2 x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int \sin (2 x) d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int \sin (2 x) d x$

Этап 7

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C + \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Этап 8

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Этап 9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$x + C + \frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

Этап 10

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Этап 11

Упростим.

$x - \frac{\cos (u)}{2} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$x - \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $x - \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$