Математический анализ Примеры

$\frac{(4 x^{2} - 7 x - 6)}{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{(4 x^{2} - 7 x - 6)}{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{(4 x^{2} - 7 x - 6)}{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4 x^{2} - 7 x - 6}{x} d x$

Этап 4

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{4 x^{2}}{x} + \frac{- 7 x}{x} + \frac{- 6}{x} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4 x^{2}}{x} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$\int \frac{x (4 x)}{x} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x (4 x)}{x^{1}} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\int \frac{x (4 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.1.2.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{x (4 x)}{x \cdot 1} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.1.2.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{4 x}{1} d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.1.2.5

Разделим $4 x$ на $1$ .

$\int 4 x d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$\int 4 x d x + \int \frac{- 7 x}{x} d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 6.2.2

Разделим $- 7$ на $1$ .

$\int 4 x d x + \int - 7 d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int x d x + \int - 7 d x + \int \frac{- 6}{x} d x$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \int x d x + \int - 7 d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 7 d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 7 x + C + \int - \frac{6}{x} d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C + \int - \frac{6}{x} d x$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - \int \frac{6}{x} d x$

Этап 13

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - (6 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 14

Умножим $6$ на $- 1$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - 6 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 7 x + C - 6 (\ln (| x |) + C)$

Этап 16

Упростим.

$2 x^{2} - 7 x - 6 \ln (| x |) + C$

Этап 17

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4 x^{2} - 7 x - 6}{x}$ .

$F (x) =$ $2 x^{2} - 7 x - 6 \ln (| x |) + C$