Математический анализ Примеры

$\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

Этап 1

Запишем $\frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ в виде функции.

$f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (θ)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (θ) = \int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)} d θ$

Этап 4

Переставляем члены.

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\tan^{2} (θ) + 1} d θ$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 6

Сократим общий множитель $\sec^{3} (θ)$ и $\sec^{2} (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $\sec^{2} (θ)$ из $\sec^{3} (θ) \tan (θ)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ)} d θ$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sec^{2} (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{\sec^{2} (θ) \cdot 1} d θ$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sec (θ) \tan (θ)}{1} d θ$

Этап 6.2.4

Разделим $\sec (θ) \tan (θ)$ на $1$ .

$\int \sec (θ) \tan (θ) d θ$

Этап 7

Поскольку производная $\sec (θ)$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ , интеграл $\sec (θ) \tan (θ)$ равен $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (θ) = \frac{\sec^{3} (θ) \tan (θ)}{1 + \tan^{2} (θ)}$ .

$F (θ) =$ $\sec (θ) + C$