Математический анализ Примеры

$\tan^{2} (θ) + 1$

Этап 1

Запишем $\tan^{2} (θ) + 1$ в виде функции.

$f (θ) = \tan^{2} (θ) + 1$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (θ)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (θ) = \int \tan^{2} (θ) + 1 d θ$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \tan^{2} (θ) d θ + \int d θ$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (θ)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (θ) d θ + \int d θ$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 1 d θ + \int \sec^{2} (θ) d θ + \int d θ$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- θ + C + \int \sec^{2} (θ) d θ + \int d θ$

Этап 8

Поскольку производная $\tan (θ)$ равна $\sec^{2} (θ)$ , интеграл $\sec^{2} (θ)$ равен $\tan (θ)$ .

$- θ + C + \tan (θ) + C + \int d θ$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- θ + C + \tan (θ) + C + θ + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Добавим $- θ$ и $θ$ .

$C + \tan (θ) + C + 0 + C$

Этап 10.1.2

Добавим $C + \tan (θ) + C$ и $0$ .

$C + \tan (θ) + C + C$

Этап 10.2

Упростим.

$\tan (θ) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (θ) = \tan^{2} (θ) + 1$ .

$F (θ) =$ $\tan (θ) + C$