Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{(9 + x^{6})}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{9 + x^{6}} d x$

Этап 4

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{9 + {(x^{3})}^{2}} d x$

Этап 5

Пусть $u = x^{3}$ . Тогда $d u = 3 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{9 + u^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{9 + u^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(9 + u^{2}) \cdot 3} d u$

Этап 6.2

Перенесем $3$ влево от $9 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{3 (9 + u^{2})} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{9 + u^{2}} d u$

Этап 8

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3^{2} + u^{2}} d u$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{3^{2} + u^{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \arctan (\frac{u}{3}) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\arctan (\frac{u}{3})$ .

$\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$

Этап 10.2

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{u}{3})}{3} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Этап 10.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} u) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x^{2}}{9 + x^{6}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{9} \arctan (\frac{1}{3} x^{3}) + C$