Математический анализ Примеры

$x e^{\frac{x}{2}}$

Этап 1

Запишем $x e^{\frac{x}{2}}$ в виде функции.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Этап 7

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 7.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Этап 8.3

Перенесем $2$ влево от $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Этап 10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Этап 11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Этап 12

Перепишем $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ в виде $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

Этап 14

Изменим порядок членов.

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$