Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sec (x) \tan (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\sec (x) \tan (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = \sec (x)$ . Тогда $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , следовательно $- d u = - \sec (x) \tan (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sec (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{1} \cdot 1 d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{1} \cdot 1 d u$

Этап 5.1.2

Перепишем это выражение.

$\int 1 \cdot 1 d u$

Этап 5.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\int d u$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sec (x) \tan (x)}$ .

$F (x) =$ $\sec (x) + C$