Математический анализ Примеры

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 4

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Этап 5

Пусть $x = 4 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 4 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $4 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим правило умножения к $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $16$ из $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $16$ из $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.6

Применим правило умножения к $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.7

Возведем $16$ в степень $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.8

Перемножим экспоненты в ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.9

Перепишем $4096 \cos^{6} (t)$ в виде ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $4 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $4 \cos (t)$ из $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{16}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{16}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 8

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ в $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 9

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$