Математический анализ Примеры

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $\sin (x) \tan^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (x)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 8

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Этап 9

Упростим $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Этап 9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 9.3

Единица в любой степени равна единице.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 9.4

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 9.5

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Этап 9.6

Разделим дроби.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Этап 9.7

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Этап 9.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Этап 10

Поскольку производная $\sec (x)$ равна $\sec (x) \tan (x)$ , интеграл $\sec (x) \tan (x)$ равен $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Этап 11

Упростим.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$