Математический анализ Примеры

$y = 6 x + 7$ , $y = x^{2}$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{7} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = 6 x + 7$ и $g (x) = x^{2}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(6 x + 7)}^{2}$ в виде $(6 x + 7) (6 x + 7)$ .

$V = (6 x + 7) (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.2

Развернем $(6 x + 7) (6 x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = 6 \cdot (6 x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$V = 6 \cdot (6 (x \cdot x)) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = 6 \cdot (6 x^{2}) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$V = 36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.1.4

Умножим $7$ на $6$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.1.5

Умножим $6$ на $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.1.6

Умножим $7$ на $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $42 x$ и $42 x$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Этап 2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{2 \cdot 2}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{4}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 1}^{7} 36 x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 4

Поскольку $36$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $36$ из-под знака интеграла.

$V = π (36 \int_{- 1}^{7} x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 7

Поскольку $84$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $84$ из-под знака интеграла.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Этап 11

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{4} d x)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{7}))$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Этап 13.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $7$ и в $- 1$ .

$V = π (36 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Этап 13.2.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $7$ и в $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Этап 13.2.3

Найдем значение $49 x$ в $7$ и в $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Этап 13.2.4

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $7$ и в $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Возведем $7$ в степень $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (36 (\frac{343 + 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.7

Добавим $343$ и $1$ .

$V = π (36 (\frac{344}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.8

Объединим $36$ и $\frac{344}{3}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 344}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.9

Умножим $36$ на $344$ .

$V = π (\frac{12384}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.10

Сократим общий множитель $12384$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.10.1

Вынесем множитель $3$ из $12384$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 (1)} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 \cdot 1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{4128}{1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.10.2.4

Разделим $4128$ на $1$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.11

Возведем $7$ в степень $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (4128 + 84 (\frac{49 - 1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.14

Вычтем $1$ из $49$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{48}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.15

Сократим общий множитель $48$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.15.1

Вынесем множитель $2$ из $48$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.15.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.15.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (4128 + 84 (\frac{24}{1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.15.2.4

Разделим $24$ на $1$ .

$V = π (4128 + 84 \cdot 24 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.16

Умножим $84$ на $24$ .

$V = π (4128 + 2016 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.17

Добавим $4128$ и $2016$ .

$V = π (6144 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.18

Умножим $49$ на $7$ .

$V = π (6144 + 343 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.19

Умножим $- 49$ на $- 1$ .

$V = π (6144 + 343 + 49 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.20

Добавим $343$ и $49$ .

$V = π (6144 + 392 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.21

Добавим $6144$ и $392$ .

$V = π (6536 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.22

Возведем $7$ в степень $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Этап 13.2.5.23

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Этап 13.2.5.24

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Этап 13.2.5.25

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Этап 13.2.5.26

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Этап 13.2.5.27

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (6536 - \frac{16807 + 1}{5})$

Этап 13.2.5.28

Добавим $16807$ и $1$ .

$V = π (6536 - \frac{16808}{5})$

Этап 13.2.5.29

Чтобы записать $6536$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (6536 \cdot \frac{5}{5} - \frac{16808}{5})$

Этап 13.2.5.30

Объединим $6536$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6536 \cdot 5}{5} - \frac{16808}{5})$

Этап 13.2.5.31

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{6536 \cdot 5 - 16808}{5})$

Этап 13.2.5.32

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.32.1

Умножим $6536$ на $5$ .

$V = π (\frac{32680 - 16808}{5})$

Этап 13.2.5.32.2

Вычтем $16808$ из $32680$ .

$V = π (\frac{15872}{5})$

Этап 13.2.5.33

Объединим $π$ и $\frac{15872}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 15872}{5}$

Этап 13.2.5.34

Перенесем $15872$ влево от $π$ .

$V = \frac{15872 π}{5}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{15872 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 9972.67171955 \dots$

Этап 15