Математический анализ Примеры

$y = 4 - \frac{3}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(- \frac{3 x}{2} + 4)}^{2}$ в виде $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Этап 2.2

Развернем $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 4) + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $- \frac{3 x}{2} (- \frac{3 x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 (\frac{3 x}{2}) \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $\frac{3 x}{2}$ на $1$ .

$V = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим $\frac{3 x}{2}$ на $\frac{3 x}{2}$ .

$V = \frac{3 x (3 x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$V = \frac{9 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \frac{9 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.1.9

Умножим $2$ на $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{2}$ в числитель.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 3 x \cdot 2 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 x}{2}$ в числитель.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (2) (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 x}{2})) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (- 3 x) + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 3$ на $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 4 \cdot 4$

Этап 2.3.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 16$

Этап 2.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 12 x + 16$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{9 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{9}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{9}{4}$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{9}{4}$ и $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 7

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Этап 11.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 x]_{0}^{1})$

Этап 11.3

Найдем значение $16 x$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.6

Объединим $9$ и $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{9}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.7

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{\frac{3}{1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.7.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.8

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.10

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.10.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.11

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} + 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.12

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.13

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.14

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.14.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.14.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.14.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.14.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.15

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.16

Объединим $- 6$ и $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{3 - 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.18.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$V = π (\frac{3 - 24}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.18.2

Вычтем $24$ из $3$ .

$V = π (\frac{- 21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.20

Умножим $16$ на $1$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 - 16 \cdot 0)$

Этап 11.4.21

Умножим $- 16$ на $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 + 0)$

Этап 11.4.22

Добавим $16$ и $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16)$

Этап 11.4.23

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 11.4.24

Объединим $16$ и $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})$

Этап 11.4.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 21 + 16 \cdot 4}{4})$

Этап 11.4.26

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.26.1

Умножим $16$ на $4$ .

$V = π (\frac{- 21 + 64}{4})$

Этап 11.4.26.2

Добавим $- 21$ и $64$ .

$V = π (\frac{43}{4})$

Этап 11.4.27

Объединим $π$ и $\frac{43}{4}$ .

$V = \frac{π \cdot 43}{4}$

Этап 11.4.28

Перенесем $43$ влево от $π$ .

$V = \frac{43 π}{4}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{43 π}{4}$

Десятичная форма:

$V = 33.77212102 \dots$

Этап 13