Математический анализ Примеры

$y = 3 + 2 x - x^{2}$ , $x + y = 3$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ и $g (x) = 3 - x$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(- x^{2} + 2 x + 3)}^{2}$ в виде $(- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3)$ .

$V = (- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3) - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.2

Развернем $(- x^{2} + 2 x + 3) (- x^{2} + 2 x + 3)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.4

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{2} x) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{1 + 2}) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$V = x^{4} - 1 \cdot (2 x^{3}) - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x (- x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x \cdot x^{2}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.10

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.1

Перенесем $x^{2}$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x)) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.10.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 (x^{2} x)) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{2 + 1}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.10.3

Добавим $2$ и $1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x^{3}) + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.11

Умножим $2$ на $- 1$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.13

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.13.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.13.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.14

Умножим $2$ на $2$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.15

Умножим $3$ на $2$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.16

Умножим $- 1$ на $3$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.17

Умножим $2$ на $3$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 3 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.3.18

Умножим $3$ на $3$ .

$V = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.4

Вычтем $2 x^{3}$ из $- 2 x^{3}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.5

Добавим $- 3 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 3 x^{2} + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.6

Вычтем $3 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 6 x + 6 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.7

Добавим $6 x$ и $6 x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - {(3 - x)}^{2}$

Этап 2.1.8

Перепишем ${(3 - x)}^{2}$ в виде $(3 - x) (3 - x)$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - ((3 - x) (3 - x))$

Этап 2.1.9

Развернем $(3 - x) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 (3 - x) - x (3 - x))$

Этап 2.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))$

Этап 2.1.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))$

Этап 2.1.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))$

Этап 2.1.10.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))$

Этап 2.1.10.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - x (- x))$

Этап 2.1.10.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

Этап 2.1.10.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.5.1

Перенесем $x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

Этап 2.1.10.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

Этап 2.1.10.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})$

Этап 2.1.10.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 3 x - 3 x + x^{2})$

Этап 2.1.10.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - (9 - 6 x + x^{2})$

Этап 2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 1 \cdot 9 - (- 6 x) - x^{2}$

Этап 2.1.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 - (- 6 x) - x^{2}$

Этап 2.1.12.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 + 6 x - x^{2}$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 9 - 9 + 6 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вычтем $9$ из $9$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 0 + 6 x - x^{2}$

Этап 2.2.1.2

Добавим $x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x$ и $0$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} + 12 x + 6 x - x^{2}$

Этап 2.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x + 6 x$

Этап 2.2.3

Добавим $12 x$ и $6 x$ .

$V = x^{4} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 18 x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{3} x^{4} d x + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - 4 x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 \int_{0}^{3} x^{3} d x + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 9

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 \int_{0}^{3} x^{2} d x + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} 18 x d x)$

Этап 12

Поскольку $18$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $18$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 \int_{0}^{3} x d x)$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{3}))$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{3} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Этап 14.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Найдем значение $\frac{x^{5}}{5}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π ((\frac{3^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{3}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Этап 14.2.2

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Этап 14.2.3

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{3}))$

Этап 14.2.4

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $3$ и в $0$ .

$V = π (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.3

Сократим общий множитель $0$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.3.1

Вынесем множитель $5$ из $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{243}{5} - \frac{0}{1} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 0 - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} + 0 - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.5

Добавим $\frac{243}{5}$ и $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.8

Сократим общий множитель $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.8.1

Вынесем множитель $4$ из $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.8.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.8.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.8.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.8.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} - 0) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.9

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4} + 0) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.10

Добавим $\frac{81}{4}$ и $0$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 4 (\frac{81}{4}) - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.11

Объединим $- 4$ и $\frac{81}{4}$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 4 \cdot 81}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.12

Умножим $- 4$ на $81$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 324}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.13

Сократим общий множитель $- 324$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.13.1

Вынесем множитель $4$ из $- 324$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.13.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4 (1)} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.13.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{4 \cdot - 81}{4 \cdot 1} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.13.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 81}{1} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.13.2.4

Разделим $- 81$ на $1$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 81 - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.14

Чтобы записать $- 81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{243}{5} - 81 \cdot \frac{5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.15

Объединим $- 81$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{243}{5} + \frac{- 81 \cdot 5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{243 - 81 \cdot 5}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.17.1

Умножим $- 81$ на $5$ .

$V = π (\frac{243 - 405}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.17.2

Вычтем $405$ из $243$ .

$V = π (\frac{- 162}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.19

Возведем $3$ в степень $3$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.20

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.20.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.20.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.20.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.20.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.20.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0^{3}}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.21

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.22

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.22.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 (0)}{3}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.22.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.22.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.22.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.22.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - \frac{0}{1}) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.22.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 - 0) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.23

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 (9 + 0) + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.24

Добавим $9$ и $0$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 3 \cdot 9 + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.25

Умножим $- 3$ на $9$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 27 + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.26

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{162}{5} - 27 \cdot \frac{5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.27

Объединим $- 27$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{162}{5} + \frac{- 27 \cdot 5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 162 - 27 \cdot 5}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.29.1

Умножим $- 27$ на $5$ .

$V = π (\frac{- 162 - 135}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.29.2

Вычтем $135$ из $- 162$ .

$V = π (\frac{- 297}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.30

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.31

Возведем $3$ в степень $2$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Этап 14.2.5.32

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{2}))$

Этап 14.2.5.33

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.33.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Этап 14.2.5.33.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.33.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 14.2.5.33.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 14.2.5.33.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - \frac{0}{1}))$

Этап 14.2.5.33.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} - 0))$

Этап 14.2.5.34

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2} + 0))$

Этап 14.2.5.35

Добавим $\frac{9}{2}$ и $0$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 18 (\frac{9}{2}))$

Этап 14.2.5.36

Объединим $18$ и $\frac{9}{2}$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{18 \cdot 9}{2})$

Этап 14.2.5.37

Умножим $18$ на $9$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{162}{2})$

Этап 14.2.5.38

Сократим общий множитель $162$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.38.1

Вынесем множитель $2$ из $162$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2})$

Этап 14.2.5.38.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.38.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2 (1)})$

Этап 14.2.5.38.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{2 \cdot 81}{2 \cdot 1})$

Этап 14.2.5.38.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{81}{1})$

Этап 14.2.5.38.2.4

Разделим $81$ на $1$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 81)$

Этап 14.2.5.39

Чтобы записать $81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + 81 \cdot \frac{5}{5})$

Этап 14.2.5.40

Объединим $81$ и $\frac{5}{5}$ .

$V = π (- \frac{297}{5} + \frac{81 \cdot 5}{5})$

Этап 14.2.5.41

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 297 + 81 \cdot 5}{5})$

Этап 14.2.5.42

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.5.42.1

Умножим $81$ на $5$ .

$V = π (\frac{- 297 + 405}{5})$

Этап 14.2.5.42.2

Добавим $- 297$ и $405$ .

$V = π (\frac{108}{5})$

Этап 14.2.5.43

Объединим $π$ и $\frac{108}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 108}{5}$

Этап 14.2.5.44

Перенесем $108$ влево от $π$ .

$V = \frac{108 π}{5}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{108 π}{5}$

Десятичная форма:

$V = 67.85840131 \dots$

Этап 16