Математический анализ Примеры

$y = 2 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = - \frac{x}{2} + 2$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(- \frac{x}{2} + 2)}^{2}$ в виде $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$

Этап 2.2

Развернем $(- \frac{x}{2} + 2) (- \frac{x}{2} + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 2) + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2} + 2)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.2

Умножим $\frac{x}{2}$ на $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.3

Умножим $\frac{x}{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.1.8

Умножим $2$ на $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 2 + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{2}$ в числитель.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 2 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - x - x + 4$

Этап 2.3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} + \int_{0}^{1} - 2 x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 7

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 d x)$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

Этап 11

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 4 x]_{0}^{1})$

Этап 11.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 x]_{0}^{1})$

Этап 11.3

Найдем значение $4 x$ в $1$ и в $0$ .

$V = π (\frac{(\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - \frac{0}{1}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} - 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3} + 0}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$V = π (\frac{\frac{1}{3}}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.6

Перепишем $\frac{\frac{1}{3}}{4}$ в виде произведения.

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.7

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{1}{3 \cdot 4} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.8

Умножим $3$ на $4$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.9

Единица в любой степени равна единице.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.11

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.11.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.11.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.11.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.11.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} - 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2} + 0) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.13

Добавим $\frac{1}{2}$ и $0$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 2 (\frac{1}{2}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.14

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 2}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.15.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.15.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2.2

Сократим общий множитель.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2.3

Перепишем это выражение.

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1}{1} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.15.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.16

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.17

Объединим $- 1$ и $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{1}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{1 - 1 \cdot 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.19.1

Умножим $- 1$ на $12$ .

$V = π (\frac{1 - 12}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.19.2

Вычтем $12$ из $1$ .

$V = π (\frac{- 11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.21

Умножим $4$ на $1$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 - 4 \cdot 0)$

Этап 11.4.22

Умножим $- 4$ на $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 + 0)$

Этап 11.4.23

Добавим $4$ и $0$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4)$

Этап 11.4.24

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + 4 \cdot \frac{12}{12})$

Этап 11.4.25

Объединим $4$ и $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{11}{12} + \frac{4 \cdot 12}{12})$

Этап 11.4.26

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{- 11 + 4 \cdot 12}{12})$

Этап 11.4.27

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.27.1

Умножим $4$ на $12$ .

$V = π (\frac{- 11 + 48}{12})$

Этап 11.4.27.2

Добавим $- 11$ и $48$ .

$V = π (\frac{37}{12})$

Этап 11.4.28

Объединим $π$ и $\frac{37}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 37}{12}$

Этап 11.4.29

Перенесем $37$ влево от $π$ .

$V = \frac{37 π}{12}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{37 π}{12}$

Десятичная форма:

$V = 9.68657734 \dots$

Этап 13