Математический анализ Примеры

$y = \sqrt{25 - x^{2}}$ , $y = 0$

Этап 1

Чтобы найти объем пространственной фигуры, сначала определим площадь каждого среза, а затем проинтегрируем по всему диапазону. Каждый срез имеет форму круга с радиусом $f (x)$ и площадью $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 5}^{5} {(f (x))}^{2} d x$ , где $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

Этап 2

Упростим подынтегральное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${\sqrt{(5 + x) (5 - x)}}^{2}$ в виде $(5 + x) (5 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ в виде ${((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$V = {((5 + x) (5 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$V = (5 + x) (5 - x)$

Этап 2.1.5

Упростим.

$V = (5 + x) (5 - x)$

Этап 2.2

Развернем $(5 + x) (5 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 5 (5 - x) + x (5 - x)$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x)$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$V = 5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$V = 25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$V = 25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x)$

Этап 2.3.1.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x)$

Этап 2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$V = 25 - 5 x + 5 x - x \cdot x$

Этап 2.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x)$

Этап 2.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$V = 25 - 5 x + 5 x - x^{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $- 5 x$ и $5 x$ .

$V = 25 + 0 - x^{2}$

Этап 2.3.3

Добавим $25$ и $0$ .

$V = 25 - x^{2}$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$V = π (\int_{- 5}^{5} 25 d x + \int_{- 5}^{5} - x^{2} d x)$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} + \int_{- 5}^{5} - x^{2} d x)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} - \int_{- 5}^{5} x^{2} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{5}))$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$V = π (25 x]_{- 5}^{5} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{5}))$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $25 x$ в $5$ и в $- 5$ .

$V = π ((25 \cdot 5) - 25 \cdot - 5 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{5}))$

Этап 7.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $5$ и в $- 5$ .

$V = π (25 \cdot 5 - 25 \cdot - 5 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $25$ на $5$ .

$V = π (125 - 25 \cdot - 5 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.2

Умножим $- 25$ на $- 5$ .

$V = π (125 + 125 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.3

Добавим $125$ и $125$ .

$V = π (250 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}))$

Этап 7.2.3.5

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} - \frac{- 125}{3}))$

Этап 7.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$V = π (250 - (\frac{125}{3} + \frac{125}{3}))$

Этап 7.2.3.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} + 1 (\frac{125}{3})))$

Этап 7.2.3.8

Умножим $\frac{125}{3}$ на $1$ .

$V = π (250 - (\frac{125}{3} + \frac{125}{3}))$

Этап 7.2.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (250 - \frac{125 + 125}{3})$

Этап 7.2.3.10

Добавим $125$ и $125$ .

$V = π (250 - \frac{250}{3})$

Этап 7.2.3.11

Чтобы записать $250$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$V = π (250 \cdot \frac{3}{3} - \frac{250}{3})$

Этап 7.2.3.12

Объединим $250$ и $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{250 \cdot 3}{3} - \frac{250}{3})$

Этап 7.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = π (\frac{250 \cdot 3 - 250}{3})$

Этап 7.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.14.1

Умножим $250$ на $3$ .

$V = π (\frac{750 - 250}{3})$

Этап 7.2.3.14.2

Вычтем $250$ из $750$ .

$V = π (\frac{500}{3})$

Этап 7.2.3.15

Объединим $π$ и $\frac{500}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 500}{3}$

Этап 7.2.3.16

Перенесем $500$ влево от $π$ .

$V = \frac{500 π}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$V = \frac{500 π}{3}$

Десятичная форма:

$V = 523.59877559 \dots$

Этап 9